유체층과 수평으로 인접한 다공질층에서 기공도의 변화를 고려한 열적 안정성 해석

변석훈, 최창균

서울대학교 공과대학 화학공학과

Thernal Instability of Horizontally Superposed Porous and Fluid Layers with Porosity Variation

S.H. Byun and C.K. Choi

Department of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

제조공정에서 정밀성이 중요해 짐에 따라 점차 자연대류에 대한 관심이 높아지고 있다. 자연대류는 자연계 및 공학문제에서 쉽게 접할 수 있으며, 열전달, 물질전달을 수반하는 공정에서 정밀한 유동 제어에 중요한 영향을 미친다. 자연대류는 온도 구배뿐만 아니라 농도 구배에 의해서도 이루어지며, 열 및 물질전달이 수반되는 각종 장치를 설계할 때나 대기의 유동이나 맨틀의 대류를 연구할 때 중요하다. 수평 다공질층에서의 대류문제가 Rayleigh-Benard 대류문제의 일환임이 알려진 후 다공질층에서의 대류문제는 최근 주목받고 있는 연구 대상 중의 하나이다[1].

유체층과 다공질층이 인접한 경우 여러 연구들[2, 3]은 다공질층에서 기공도의 변화를 고려하지 않고 열적안정성을 해석하였으나 본 연구에서는 다공질층의 기공도변화를 고려하여 열적안정성 해석의 차이점을 비교하여 보았다.

안정성해석

본 연구에서는 Fig. 1과 같이 일정한 온도(Tu, Tl)로 유지되는 고정 경계면사이에 다공질층(dm)과 유체층(d)이 수평으로 인접해 있는 계를 고려하였다. 비압축성 유체, Boussinesq 가정, 선형의 상태방정식의 가정하에 선형안정성 이론을 적용한 안정성방정식은 다음과 같다:

(유체층)

[eqn: rm (D^2 - a^2 ) ^2 W - a^2 Ra theta = 0]	(1)

[eqn: rm W + (D^2 - a^2 ) theta = 0]	(2)

(다공질층)

[eqn: rm K_inf over K (D_m ^2 - a_m ^2 ) W_m + D_m ({K_inf over K}) D_m W_m + a_m ^2 Ra_m theta_m = 0]	(3)

[eqn: rm W_m + alpha_m over alpha_{m inf} D_m ( {alpha_m over alpha_{m inf}}) D_m theta_m + ( {alpha_m over alpha_{m inf}})^2 (D_m ^2 - a_m ^2 ) theta_m = 0]	(4)

여기서 W, Wm, □, □m은 속도와 온도를 나타내며 D=∂/∂Z, Dm=∂/∂Zm을 나타내며, K와 □m은 투과도와 열확산도를 나타낸다. 아래첨자 ∞는 다공질층의 중간에서의 값을 의미한다. 그리고 Ra, Ram은 Rayleigh 수, Darcy-Rayleigh 수이며 이는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: rm Ra = {g beta d^4} over {nu_f alpha_f} {T_l - T_u} over {(d + int from 0 to d_m alpha_f over alpha_m dz )}]	(5)

[eqn: rm Ra_m = {g beta K_inf d_m ^2} over {nu_f alpha_{m inf}} {T_l - T_u} over {d + int from 0 to d_m alpha_f over alpha_m dz} alpha_f over alpha_{m inf}]	(6)

이 때 경계조건은 일반적으로 다음과 같이 주어진다.

(z=1)

[eqn: rm theta = 0],[eqn: rm W = DW = 0]	(7)

(zm=0)

[eqn: rm theta_m = 0],[eqn: rm W_m = 0]	(8)

(z=0; zm=1)

온도 연속성;[eqn: rm theta = □_T ` theta_m]	(9)

열속 연속성;[eqn: rm D theta = [(alpha_m / alpha_f ) / epsilon_T ] `D_m theta_m]	(10)

속도 연속성;[eqn: rm □_T W = W_m]	(11)

법선응력 연속성;

[eqn: rm delta^2 epsilon_T {hatd}^3 (D^3 - 3a^2 D)W = D_m (K_inf / K) W_m - (K_inf / K) D_m W_m]	(12)

전단응력 연속성;[eqn: rm epsilon_T hat d (DW - DELTA SQRT {K/K_inf } D^2 W) = D_m W]	(13)

전단응력 연속성에서는 Beavers-Joseph[4]의 조건을 썼으며 는 dm/d, □T는 □f/□m∞, □는 [eqn: rm SQRT {K_inf}]/dm, □=□/□(□는 Beavers-Joseph 조건의 상수)이다. 그리고 기공도와 투과도는 경계면으로부터 지수적으로 감소한다고 가정하자[5, 6].

[eqn: rm epsilon (Z) = epsilon _inf [1+b exp (-c d_m over d_p Z)]]	(14)

[eqn: rm K(Z) = K_inf [1+b' exp (-c' d_m over d_p Z)]]	(15)

여기서 □∞, K∞는 경계면에서 멀리 떨어진 지점에서의 기공도와 투과도이며 dp는 다공성 매질의 입자 직경이다. 그리고 상수 b, b', c, c'은 1, 20, 2, 4로 고정할 수 있으며[5, 6] 보통의 경우 □∞는 0.4로 고정할 수 있다. 유효 열확산계수 비는 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다[7].

[eqn: rm alpha_m over alpha_f = 1 - root {1 - epsilon} + 2 root {1 - epsilon} over {1 - lambda B} left[ {(1 - lambda) B} over {(1 - lambda B)^2} ln left (1 over {lambda B} right) - {B + 1} over 2 - {B - 1} over {1 - lambda B} right]]	(16)

[eqn: rm B~=~1.25~ {left (``{1``-``epsilon} over epsilon `` right )}^{10`/``9}]	(17)

[eqn: rm lambda~=~ k_f over k_s]	(18)

결과

Fig. 2는 깊이비가 400으로 다공층이 지배적인 계(□=1, □=10-3, □=1)에서 dm/dp의 변화에 따른 안정성 곡선을 나타내었다. dm/dp가 커짐에 따라 임계 Darcy-Rayleigh 수와 임계파수는 다소 커지며 결국 계는 더 안정한 상태가 된다. dm/dp가 1000인 경우에의 임계 Darcy-Rayleigh 수와 임계파수는 각각 39.401, 3.138으로 다공질층만 존재하는 계의 임계값으로 수렴함을 알 수 있다. Fig. 3은 깊이비가 1인 계에서 □값과 □값의 변화와 함께 dm/dp에 따른 임계 Darcy -Rayleigh 수의 변화를 나타내었다. dm/dp가 10보다 큰 경우에는 임계값이 거의 변화가 없으며, □와 □가 클수록 임계값은 작아진다. 이 결과는 Taslim과 Narusawa[2]의 결과와 같은 경향을 보이며 약간 작은 값을 보인다. 보다 작은 임계값을 갖는 것은 계면의 효과에 의해 실제 투과도가 커지며 이에 영향에 의해 임계값이 작아진다.

참고문헌

1. Horton, C. W. and Rogers, F. T. : J. Appl. Phys., 16, 367(1945).

2. Taslim, M. E. and Narusawa, U. : J. Heat Transfer, 111, 357(1989).

3. Somerton C. W. and Catton, I. : J. Heat Transfer, 104, 160(1982).

4. Beavers, G. S. and Joseph, D. D. : J. Fluid Mech., 30, 197(1967).

5. Vortmeyer, D. and Schuster, J. : Chem. Eng. Sci., 38, 1691(1983).

6. Cheng, P. and Vortmeyer, D. : Chem. Eng. Sci., 43, 2523(1988).

7. Zehner, P. and Schl□nder, E. U. : Chemie-Ingr.-Tech., 42, 933(1970).

Fig. 1. system considered here