수평면에 위치한 액막의 두께변화에 따른 불안정성

전홍재, 최창균

서울대학교 공과대학 화학공학과

Effect of Film Depth on Instabilities of Horizontal Thin Liquid Films

H.J. Jeon and C.K. Choi

Department of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

매우 얇은 액막의 안정성에 대한 연구는 지난 20여년 동안 이론적으로 활발히 진행되어 왔다[1-3]. 액막내의 유동여부에 따라 물질전달, 열전달 특성에 변화를 가져오므로 증발, 코팅 등과 관련된 제조공업의 제품 정밀화에 유동의 제어가 매우 중요하다. 액막에 교란이 도입되었을 경우 교란을 성장시켜 액막을 불안정하게 하는 요인으로는 분자간에 작용하는 힘과 thermocapillarity가 있다. 본 연구에서는 아래로부터 가열되는 액막의 표면과 내부에 장파형태의 교란이 도입되었을 경우 액막의 불안정성을 lubrication 모사 아래 선형안정성이론을 이용하여 액막의 두께를 변화시켜가며 알아 보았다.

이론

수평 평판위에 놓여 있는 얇은 액막이 아랫면으로부터 등온가열되며 윗면으로 는 공기와 접하여 열이 방출되고 또한 굴곡이 가능하다. 이 계를 Fig. 1에 나타내었다. [eqn: rm h_0]는 초기 액막두께이고 h는 바닥면에서 게면까지의 수직거리이다. 액막은 비교적 얇아 초기에 선형의 온도분포를 가정하고, 뉴튼유체의 이차원 유동에 대하여 Navier-Stokes식을 적용한다. 이 식에서 시간에 따른 변화와 장파이므로 x축에 따른 속도,온도 변화를 무시하고, x-방향 속도교란 u의 크기가 O(1), z-방향 속도교란 w가 O(k), P가 O(k-1)라고 하여 식을 단순화시키면 장파의 경우에 적용할 수 있는 다음의 지배방정식을 얻는다[1]. k는 교란의 파수로 본 연구에서는 장파의 경우이므로 매우 작은 값을 갖는다.

[eqn: rm x~:~mu {partial^2 u} over {partial z^2} `=` partialP over partialx]	(1)

[eqn: rmz~:~ 0`=` partialP over partialz]	(2)

이 때의 경계조건은

(no slip)                  [eqn: rm u = w = 0]             [eqn: rm at~~z`=`-h_0]	(3)

(normal stress)   [eqn: rm -p + 2mu {partial w} over {partial z} = -p_0 +sigma {partial^2 epsilon} over {partial x^2}]   [eqn: rm at ~~ z approx 0]	(4)

(tangential stress)    [eqn: rm mu ( partialu over partialz + partialw over partialx ) `=` partialsigma over partialx]       [eqn: rm at ~~ z approx 0]	(5)

(kinematic condition)      [eqn: rm partialepsilon over partialt approx` w``|_{z=0}]	(6)

이다. 여기서[eqn: rm P`=`p+ phi +rho g z] 로 p는 압력,[eqn: rm phi]는 단위부피당 포텐셜에너지 함수로 액체분자간의 인력과 액체과 바닥면 고체분자간의 인력의 차이를 나타내는 함수이고,[eqn: rm epsilon]은 계면에 생성된 파의 진폭이며,[eqn: rm mu]는 점도이다.

이러한 속도장과 함께 다음의 온도장을 사용한다.

[eqn: rm w` partialT_0 over partialz `=`alpha `{partial^2 T_1} over partialz^2]	(7)

경계조건은 아래와 같다.

[eqn: rm T_1`=`0]                    [eqn: rm at ~~z`=`-h_0]	(8)

[eqn: rm -k_l partialT_1 over partialz `=`h_g (T_1 - DeltaT over h_0 epsilon)]  [eqn: rm at ~~z`approx`0]	(9)

여기서,[eqn: rm alpha]는 열확산계수,[eqn: rm T_0]는 기본온도로 선형의 분포를 가지며 [eqn: rm T_1]은 온도교란이고[eqn: rm Delta T]는 액막내에서의 상하온도차,[eqn: rm k_l]은 액체의 열전도계수,[eqn: rm h_g]는 공기의 대류열전달계수이다.

위의 식들을 길이[eqn: rm h_0], 시간[eqn: rm h_0^2 / nu], 속도[eqn: rm nu / h_0], 압력[eqn: rm{ rho nu^2} / h_0 ^2]로 무차원화하고 교란량들이 normal mode 해석에 따라 다음과 같은 형태를 보인다고 가정한다.

[eqn: rm pmatrix {u`#w`#T_1`#epsilon`} ~ =~ pmatrix{hatu (z)`#hatw (z)`#hat {T}_1 (z) `#hat epsilon`} `exp( ik` x+ beta`t)]	(10)

식(10)에 따라 식(1)에서 식(9)를 변형하여 정리하면 최종적으로 다음의 식들을 얻을 수 있다.

[eqn: rm D^3 hatw`=` left{Sk^4 +[-3A+G(1+2beta_1 )k^2 ]`right}hat epsilon -k^2 G beta_1 hat{T} _1 +2k^2 (D hatw )_ {z approx0}]	(11)

[eqn: rm hatw `=` - 1over Pr` D^2` hat{T}_1]	(12)

경계조건 :

[eqn: rm hatw `=` D hatw `=`0]	(13)

[eqn: rm hat {T}_1 `=`0][eqn: rm at~~z~=-h_0]	(14)

[eqn: rm (D^2 + k^2 )hat w `=` Ma Pr^-1 k^2 [hat epsilon - hat {T}_1 ]]	(15)

[eqn: rm D `hat{T}_1 `=`-Bi`(hat {T}_1 -hat epsilon )][eqn: rm at~~z~approx~0]	(16)

위의 두 개의 지배방정식과 다섯 개의 경계조건으로부터 [eqn: rm hat w]와 [eqn: rm hat{T}_1]을 구하고 식(6)으로부터 시간항의 계수[eqn: rm beta]를 구한다.

[eqn: rm beta `= `f1 /f2]	(17)

[eqn: rm f1 = k^2 left( [ Ma over 20&+ Ra over 30 ]Sk^4 - [( Ma over 20 + Ra over 30 ) (3A-G(1+2beta_1 ) ) +#&rm 2Ma over Pr + 4S(1+Bi) ]k^2 + [4(3A-G(1+2beta_1 )) + 6Ma over Pr ] right)]	(17a)

[eqn: rm f2`=`{Ra} over 60 k^6 &- [ 7 over 10 Ma + 2(1+Bi) + 3 over 20 Ra]k^4 #&+[ rm 3over2 Ma +18(1+Bi) - 10Ra`]k^2 +12`(1+Bi)]	(17b)

여기서[eqn: rm Ma`=`{gamma DeltaT h_0}over rhonualpha`,`Ra`=`{g beta_1 h_0^3 } over nualpha`,` beta_1 `= `- 1over rho_0 partialrho over partialT Delta T` ,`G`=` gh_0^3 over nu^2`,]   [eqn: rmS`=`sigmah_0 over rhonu^2`,`A`= `{A prime} over {6pirhonu^2 h_0}]이다.

결과 및 토론

윗면이 25℃의 공기와 접하고 있고, 아랫면에서 100℃로 등온가열되는 물층에 대해서 여러 두께에서의 교란의 최대 성장을 식(17)로부터 구하여 Fig. 2에 나타내었다. [eqn: rm beta_m]은 주어진 두께에서 가장 빨리 성장하는 교란의 시간항의 계수인데  교란이 성장하는 양의[eqn: rm beta]값중 극대값으로, 이에 해당하는 파수(k)가 실험적으로 관측되는 값에 해당한다. 그림이 두 영역으로 나누어지는 것을 보이는데 이로부터 교란의 성장이 두가지 효과로 인해 나타남을 알 수 있다. 두께가 아주 얇은 경우는 액체와 액체분자와 액체와 고체 분자간의 인력의 차의 영향으로 교란이 성장을 하는데 두께가 두꺼워질수록 중력의 안정화 효과로 인해 성장속도가 둔화되다가 thermocapillarity의 영향이 나타나면서부터 다시 성장속도가 증가하는 것을 볼 수 있다. 그리고 어느 두께 이상에서는 교란의 성장속도가 급격히 감소하여 Marangoni대류가 발생하는 두께까지 계속 안정한 것을 보여준다. 분자간의 힘이 작용하지 못하는 두께의 영역은 액막전체가 등온인 경우의 다음의 식으로부터 구할 수 있다.

[eqn: rm beta = {k^2 left(~ - 4Sk^2 + 4`(~3A-G~) ~right) } over { - 2 k^4 +18k^2 +12 }]	(18)

이 식이 보이듯이 [eqn: rm 3 A`<`G]인 경우는 항상 액막이 안정하게 되는데 물성치들로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm {A prime} / (2pi rho nu^2 h_0 ) ~<~{gh_0^3 / nu^2 } ~~~&->~~~~~ h_0 ~> ~ ^{4 } SQRT { {A prime}/( {2pirhog}) }]	(19)

따라서, 이 영역에서 액막은 thermocapillarity에 의해서만 불안정해진다. 액막이 thermocapillarity로부터도 안정한 영역은  이차방정식의 성질로부터 식 (17)의  [eqn: rm 4[~3A-G(1+2beta_1 )~]+ 6Ma / Pr ~<~0] 을 만족시키는 두께영역이다. A와 [eqn: rm beta_1]의 값이 작은 경우 이를 무시하고 물성치들로 나타내면 [eqn: rm h_0 `> ` sqrt{ {3gamma DeltaT}/( 2rhog)}]인데  Fig. 2에서 [eqn: rm beta_m]값이 급격히 작아지는 두께가 바로 액막이 안정해지는 이 영역으로 넘어가는 전이영역이다. 부력효과로 인한 교란의 성장은 두께가 얇아서 크게 나타나지 않는다.

Fig. 3 은 교란의 파수에 대한 성장속도를 나타내는 그림인데[eqn: rm beta]가 양수인 파수에 대해서는 교란이 성장한다. 교란의 성장속도가 어느 두께에서나 극대점을 보이는데 [eqn: rm k~->~0] 인 파장이 매우 긴 경우는 점성저항으로 인해 x방향속도가 매우 커지기가 어려우므로 성장속도가 둔화되고,[eqn: rm beta]가 0인 임계파수 k 근처에서는 표면의 굴곡이 생기는 것을 저해하는 Laplace pressure의 영향으로 곡률이 커질수가 없어 역시 성장속도가 둔화되어 이와 같은 극대값을 준다. 또한 [eqn: rm h_0 `> ` sqrt{ {3gamma DeltaT} / (2rhog)}]를 만족시키는 두께에서는[eqn: rm beta]가 장파의 k값에 항상 음수인 것을 보여준다. 이는 액막이 안정하다는 것을 뜻한다.

참고문헌

1. Ruckenstein, E and Jain, R. K. : J. Chem. Soc. Faraday Trans. II 70, 132(1974).

2. Williams, M. B. and Davis, S. H. : J. Colloid and Interface Sci., 90, 1, 220(1982).

3. Burelbach, J. P., Bankoff, S. G. and Davis, S. H. : J. Fluid Mech. 195, 463(1988).

Fig. 1. Schematic diagram of present system.

Fig. 2. Maximum growth rate vs. film thickness.

Fig. 3. Temporal growth rate vs. wave number.