복사 열전달 해석을 위한 효율적인 전산 기법

박흥목, 김태훈

서강대학교 화학공학과

An Eficient Computational Technique

for Radiative Heat Transfer in Participating Media

Hung Mok Park, Tae Hoon Kim

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

노 등에서의 열전달에서 가장 중요한 경로는 복사 열전달이며, 복사 열전달을 지배하는 방정식은 위상공간에서 정의된 6차원 미분-적분 방정식으로 나타나는 복사 열전달 방정식이다[1,2]. 이러한 복사 열전달 방정식을 푸는데 가장 널리 이용되는 방법에는 P1 근사법과 S4 method가 있다. P1 근사법은 빠른 계산으로 복사열전달 방정식을 풀어내지만 광학적 두께가 얇은 경우에 구해진 결과는 상당히 부정확하다. 이에 반해 S4 method는 모든 범위의 광학적 두께에서 복사 열전달 방정식의 정확한 해를 구해지만 계산시간과 전산기의 memory요구량이 크다. 상당한 산란이 있는 경우에서는 많은 수의 반복계산이 수반되므로 긴 계산시간이 필요하게 된다.

본 연구에서는 복사 열전달 방정식을 보다 효율적으로 풀기 위해 새로운 algorithm을 고안하였다. 그 방법은 modified differential 근사법에 의해 wall emission과 medium emission 두 부분으로 나눈 후, 벽 근처에서의 복사에는 경계조건을 정확하게 만족하는 S4 method로 해를 구하고, 매질에서의 복사에는 P1 근사법으로 해를 구하며, S4에서 반복회수를 증가시키는 산란의 효과는 P1으로 취급하는 것이다. 이 방법은 종래에 방법과 비교해 볼 때 모든 범위의 광학적 두께에서 빠른 계산으로 정확한 결과를 구해주는 이점을 가지고 있다.

공학에서 흔히 일어나는 복잡한 복사 열전달이 일어나는 계, 예를 들어 pulverized-coal-fired furnace와 같은 계를 종래의 방법들을 이용하면 정확한 해를 구하기 위해서는 막대한 계산시간과 memory를 요구했으나, 본 연구에서 제안한 algorithm을 사용하면 매우 효율적으로 해석될 수 있다.

이론

불투명하고 난반사를 일으키는 벽으로 둘러싸인 axisymmetric cylindrical  계에서 정상상태의 복사 및 전도 열전달은 다음의 식에 따르며,

[eqn: k del^2 rm T ~=~ del bullet {bold q}_r]                    (1)

여기서 [eqn: del bullet {bold q}_r] 은 복사 열속으로 다음과 같이 정의된다.

[eqn: del cdot bold q_r ~=~ 4pi`(1-omega)`beta`(`I_b `-` {G_m +G_s} over {4pi} `)]              (2)

위의 식에서 I 는 복사 강도이며 흡수와 방사 그리고 산란을 일으키는 매질에 대해서는 다음과 같은 복사 열전달 방정식에 의해 결정된다.

[eqn: □bullet(hat s```I``)~ + □`I~=~(1-□)`□`I_b ~+ ~{□`□} over {4`□}`int_4□ ` I`(bold r ,{hat s ``'}) □`(hat s ,{ hat s ``'})`d□]    (3)

여기서 □는 산란계수를, Ib는 Planck function (흑체 복사강도)를, □는 scattering phase function, 그리고 □는 입체각을 나타낸다.

복사강도를 두 부분, Im과 Is 로 나누고, 각각의 복사강도는 다음의 식으로 나타낸다.

[eqn: &I`(bold r , hat s``` )~=~I_m`(bold r, hat s```)~ + ~ I_s `(bold r , hat s```)]            (4)

매질로부터의 복사강도, Im은 P1 근사법에 의해서 비교적 정확하게 구할 수 있다[2]. Im대한 P1 근사법은

[eqn: del cdot 1 over beta_1 del G_m ~ - ~3 beta` (1-omega`)`G_m ~=~ -12 pi` beta` (1-omega`)`I_b ~-~3 beta`omega`(`1`+`a_1 over {3-a_1 omega}`)`G_s]                                                                          (5)

와 같으며,  경계조건으로는  보통 다음의 Marshark 경계조건이 주어진다[2].

[eqn: 2`(`2 over epsilon -1`)`{bold q}_m cdot hat n ~ + ~ G_m ~ =~0]                (6)

여기에서

[eqn: & beta_1 &== &beta`(`1`-`{a_1 omega} over 3 ) #& hat n &= &rm "inward normal vector"]

[eqn: &```` G_m & EQUIV & int_4pi I_m d Omega #&```` G_s & EQUIV & int_4pi I_s d Omega #& {bold q}_m &=& (- 1 over {3 beta_1}) del G_m ~+~ {beta`a_1`omega} over {3`beta_1} {bold q}_s #& {bold q}_s &=& int hat s ``I_s `(bold r , hat s ```)d Omega]	(7)

Is에 대한 지배방정식은 다음과 같다.

[eqn: mu_m over r {partial (r` I_s `)} over {partial r`````} ~+~ xi_m {partial I_s} over {partial z`````} ~ - ~ 1 over r~ {partial ( eta_m I_s `)} over {partial Psi`````} ~=~ -beta``I_s]	(8)

이때, 경계조건은

[eqn: &r=R~~``` …………… ~~I_{s`i} `=` epsilon I_b ~ + ~{(1- epsilon)} over pi sum from {mu_j >0} w_j`` |mu_j `|``I_{s`j},~~(`mu_i <0`) ##&r=0~~ …………… ~~~I_{s`i} `= I_{s`j}~~~~~~~~~~ mu_j ~=~-mu_j ~~~~~````,~~(`mu_i <0`) ## & z=0```~~ …………… ~~I_{s`i} `=` epsilon I_b ~ + ~{(1- epsilon)} over pi sum from {xi_j <0} w_j`` |xi_j `|``I_{s`j}~,``~~(`xi_i >0`) ## & z=Z~~ …………… ~~I_{s`i} `=` epsilon I_b ~ + ~{(1- epsilon)} over pi sum from {xi_j >0} w_j`` |xi_j `|``I_{s`j}~,```~~(`xi_i <0`)]	(9)

결과 및 결론

선택한 계는 직경과 높이가 각각 2m(D), 4m(Z)인 cylindrical enclosure로 온도장과 복사장이 서로 작용할 때 복사장을 구하기 위해서 온도장을 구해야 되는 일반적인 경우를 고려하였다. 경계온도는 z=0m일 때 1200K, z=4m일 때 400K, 그리고 나머지 둘레의 벽면에서는 900K로 주어진다. 표면 복사능은 z=0m인 벽면에서 0.85이며, 나머지 벽면에서는 0.7이다. Thermal conductivity의 값은 4.25kW/mK이며, grid의 수는 20x80으로 취하였고 30x120으로 계산해도 정확도의 차이가 없음을 확인하였다. 이때 zone method를 정확한 해로 가정하고 오차를 구하였다.

Figure 1은 z=4.0m인 차가운 벽과 z=0.0m인 뜨거운 벽에서의 열속을 보이고 있다. P1 근사법은 광학적인 두께가 얇은 경우에 30kW/m2 이상의 큰 오차를 보이며 광학적 두께가 두꺼울 경우에는 S4 method로 구한 열속에 근접한 열속을 구한다. 이에 비해 본 연구의 방법은 차가운 벽에서는 정확한 결과를 산출해내며, 뜨거운 벽에서도 상당히 정확한 열속을 구해낸다. 이로써 열속의 분포에서도 그 오차는 P1 근사법은 광학적 두께에 상당한 영향을 받으나, 본 연구의 방법은 거의 영향을 받고 있지  않음을 확인할 수 있다. Figure 2는 여러 다른 □값에서, 두 높이에서의 온도분포를 나타낸다. 본 연구의 방법으로 구한 온도 분포는 z=3.6m인 차가운 벽 근처에서는 정확한 온도분포를 나타내며, z=0.4m인 뜨거운 벽에서는 상당히 정확한 온도 분포를 나타내고 있음을 볼 수 있다. P1 근사법은 광학적 두께의 변화에 따라  온도 분포에서 상당한 오차의 변화를 보인다. 광학적 두께가 얇을 때(□= 0.1m-1), 차가운 벽 근처에서는 40K정도의 오차를 보이고, 뜨거운 벽 근처에서는 30K정도의 오차를 보인다. 그러나 광학적 두께가 두꺼운 경우(□=1.0m-1)에는 S4 method의 온도분포와 거의 근사한 온도분포를 산출해 낸다. 이에 반해 본 연구의 방법은 광학적 두께에 상관없이 정확한 해를 산출하고 있음을 볼 수 있다.

새로운 수치해법인 본 연구의 방법은 여러 고온의 연소장치에서 일어나는 복사열전달을 해석하는데 이용할 수 있으며,  매우 정확하면서 P1 근사법과 비슷한 빠른 속도로, 모든 범위의 광학적 두께에서 S4 method에 버금가는 정확한 결과를 산출해낼 수 있으며, 계산속도가 산란의 영향을 받지 않는다.

참고문헌

[1] M. N. □zisik, Radiative Transfer and Interactions with Conduction and

Convection, Wiley-Interscience, New York, 1972.

[2] M. F. Modest, Radiative Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 1993.