Iterative Dynamic Programming과 좌표변환법을 이용한

중합반응기의 최적시간 제어

정붕군, 이현구

서울대학교 화학공학과

Time-Optimal Control for Polymerization Reactor Using Iterative Dynamic Programming and Coordinate Transtormation Method

Boong Goon Jeong, Hyun-Ku Rhee

Dept. of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

최적시간 제어의 목적은 최소시간에 주어진 시스템을 초기 상태로부터 원하는 상태까지 이끌어 가는 제어 전략을 찾는 것이다. 이런 유형의 문제는 화학공정 중 특히 연속식 공정의 start-up과 회분식 공정에서 흔히 발생한다. 최적시간 제어에 사용되는 최적화 기법은 크게 Pontryagin`s minimum principle과 dynamic programming 등으로 나눌 수 있다. 이 중에서 dynamic programming은 낮은 차원의 시스템에만 적용되어 왔으나 Luus[1991]가 탐색 범위의 체계적인 축소를 사용한 iterative dynamic programming (IDP)를 소개함으로서 차원으로 인한 문제와 grid 확장의 문제가 해결되었다. 최근에 Dadebo와  Mcauley[1995]에 의하여 최적시간 제어 문제에 IDP가 적용되었으나 이들의 방법은 마지막 단계(stage)에서 정한 최종시간을 최적 값으로 추정하는 근사적인 방법을 사용하였으며, 비교적 간단한 모델식에 대하여 이를 적용하였다. 그러므로 본 연구에서는 이런 단점을 극복하기 위하여 중합반응기 모델식에 좌표변환법을 수행한 후 IDP를 적용하여 최적시간 제어를 수행하고자 한다.

고분자 중합 반응

회분식 MMA 자유라디칼 용액중합 반응계를 대상모델로 하였으며, 개시제로 BPO(Benzoyl Peroxide), 용매로 EA(Ethyl acetate)를 사용하였고, 정교한 중합 모델식 전개를 위하여 용매 및 단량체로의 연쇄이동반응과 중합 반응에 수반하는 부피 변화를 모델식에 포함시켰다. 회분식 반응기 안의 개시제, 단량체, 용매, 활성고분자 농도 모멘트, 및 비활성고분자 농도 모멘트에 대한 물질수지식은 다음과 같다[Jeong, 1996].

[eqn: 1 over V {d({I`V})} over dt &=~ -k_d `I`]                         [eqn: 1 over V {d(SV)} over dt &=~ -`k_trs` S`G_0]

[eqn: 1 over V d(MV) over dt &=~ -2`f``k_d `I ~-~ (k_p + k_trm ) `M`G_0]        [eqn: 1 over V {d(G_0 V)} over dt =& 2fk_d I - k_t G_0^2]

[eqn: 1 over V {d(G_1 V)} over dt =& 2fk_dI + k_p MG_0 -k_t G_0 G_1 + (k_trm M + k_trs S)(G_0 -G_1 )] [eqn: 1 over V {d(G_2 V)} over dt =& 2fk_d I +k_p M(G_0 +2G_1 )- k_t G_0 G_2 + (k_trm M +k_trs S)(G_0 -G_2 )][eqn: 1 over V {d(F_0 V)} over dt = &1 over 2 k_t G_0^2 + 1 over 2 k_td G_0^2 + (k_trm M +k_trs S)G_0&]

[eqn: 1 over V {d(F_1 V)} over dt =& k_t G_0 G_1 + (k_trm M + k_trs S)G_1]

[eqn: 1 over V {d(F_2 V)} over dt =& k_tc (G_0 G_2 +G_1^2 ) + k_td G_0 G_2 + (k_trm M + k_trs S)G_2]

Schmidt & Ray[1981]가 제안한 자유부피 관계식에 근거한 상관식을 사용하여 젤 효과를 고려하였으며, 속도 상수는 본 연구실에서 실험 결과로부터 매개변수 추정 기법에 의하여 추정한 결과를 사용하였다[Chang, 1995].

IDP(iterative dynamic programming)

Open-loop 최적 제어 기법은 되먹임 제어기에 의해 추적되는 적당한 목표값 궤도를 만드는 데 사용 된다. 일반적으로 IDP 알고리즘은 비록 대부분의 구배-기반(gradient-based) 알고리즘에 비하여 계산속도가 느리지만 매우 신뢰할 만하고 grid가 나쁘게 선택되지 않는 이상 global optimum을 얻을 가능성이 매우 높은것으로 알려져 있다[Dadebo, 1995].

다음의 시스템을 고려하자 :.

[eqn: {dx over dt} ~=~ f``(`x,~u`)~,~x(`0` )~=~x_0]                          (1)

여기서 x(t)는 (n×1) 상태벡터이고 u(t)는 다음과 같이 제한조건이 있는 (m×1) 제어 벡터이다.

[eqn: alpha_j ~ <= ~u_j `(`t`)` ~ <= ~beta_j ~;~ j`=`1, ~2, CDOTS ,~m `]                      (2)

식 (4)와 같은 최종상태에 대한 제한조건(constraint)을 만족하면서 성능지수[식 (3)]가 최소화되어야 한다.

[eqn: I`[`x`(0)`, ~t_f `] `=` t_f `]	(3)	[eqn: x_i `(`t_f `) `=` x_fi ,~~~~~i`=`1,~2, ~…, eta```;` eta ~<=~n]                (4)

과제는 식(2)와 식(4)의 제한조건을 만족하면서 최소시간[tf]에 시스템을 원하는 최종상태로 만드는 제어 전략을 얻는 것이다.

좌표변환법(Coordinate-transformation method)

식 (1)을 적분하여 최적화하기 위해서는 최종시간을 미리 지정해 주어야 하는 문제가 발생하므로, Secchi[1990], Ahn 등[1996]과 마찬가지로 좌표변환법을 사용하여 최소화하기를 원하는 성능지수 함수에 최종시간을 직접 포함시켰다. 즉 중합반응 동안에 단조변화하는 단량체의 양과 연관성이 있는 전환율(X)을 새로운 독립변수로 설정하고, 시간을 그에 의존하는 종속변수로 변환하여 식 (5)와 같이 좌표 변환을 수행하였다.

[eqn: {(MV_o - x_2 )} over MV_o ~-> ~ X,~ t`~ -> ~y_2 , ~x_i ~ -> ~y_i ~(i != 2)`]              (5)

여기서 MVo는 초기 단량체 몰수이며, 이 좌표변환에 의하여 위의 상태방정식은 다음과 같이 변환된다

[eqn: {dy over dX} ~=~ f``(`y,~u,~X`)~,~y(t_0 )~=~y_0 ,~~F_2 `=` {-MV_o} over f_2 ,~F_i `=`f_i over F_2 ~(i != 2)]        (6)

원하는 전환율 Xf까지의 간격(0, Xf)을 각각의 길이 L(=1/P)인 P개의 동일한 소구간들 (0, □1), (□1, □2), …, {□P-2, □P-1), (□P-1, Xf)로 나누어 성능지수를 최소화하는 제어 전략 u(0), u(1), …, u(P-1)[소구간내에서 일정]를 구하였다. Bellman의 최적성의 원리를 적용하면 P개의 단계들을 동시에 최적화하는 대신에 P 개의 단일 단계들을 마지막 단계에서 출발하여 차례로 최적화할 수 있다. 즉 최적 제어의 마지막 k 단계들이 구해졌으면, 선행하는 stage에 대한 최적제어는 단지 새로운 단계를 고려하여 남은 k 단계에 대하여 이미 구해진 최적 제어를 가지고 계속 진행함으로써 구해질 수 있다. 식 (2)에 의하여 주어지는 제어 벡터에 대한 허용가능 범위 안에서 제어벡터를 결정하기 위하여 절삭기법을 사용하였다.

상태 제한조건을 고려하여 성능지수를 확대하면 식 (7)과 같이 변형된다.

[eqn: J(X_f )=omega_1~ left| { {y_2 (X_f ) }over y_ST } right| `+` omega_2~ left| { {M_n (X_f )} over M_nd ` -` 1 } right| `+` omega_3~ left| { {M_w (X_f )} over M_wd ` -` 1 }right|]        (7)

여기서 yst는 기준 최종시간이고, Mnd, Mwd는 목표물성이며 □는 가중치이다. 성능지수 J가 미지의 최종시간의 직접적인 함수이므로 최적화 방법에 대하여 좀더 민감하게 되며, 상태 제한조건에 대하여 minimum principle에서 사용한 연속적으로 미분가능한 오차의 제곱형의 penalty 함수대신 절대오차 penalty 함수를 사용하여 엄밀해를 얻을 수 있는 가능성이 증가하였다[Dadebo, 1995]

Fig. 1. Flow chart for IDP

결 론

회분식 MMA 용액중합반응에 대하여 시간에 따라 단조증가하는 전환율을 독립변수로 선정하여 시간을 종속변수로 변환하는 좌표변환법과 IDP를 적용하여 최적시간 제어를 수행하였다. 절대오차 penalty 함수로 구성된 성능지수함수에 최종시간항을 포함시켜 최적화 기법의 능률을 향상시켰으며, minimum princple을 이용하여 구한 최적 궤도와 비교하였다. 이를 통하여 두 궤도의 국부 최소(local minimum) 여부를 살펴보고 그 성능을 검증하였다. IDP를 이용하여 구한 제어전략을 minimu princple을 적용하기위한 제어 입력의 초기값으로 선택한다면 globlal optimum에 더 가까운 최적 궤도를 용이하게 구할 수 있으리라 사료된다.

감 사

본 연구는 공정산업의 지능자동화 연구센터(ARC)를 통한 한국과학재단의 지원에 의하여 수행되었으며 이에 대하여 심심한 감사의 뜻을 표합니다.

참고 문헌

1. A. R. Secchi, E. L. Lima and J. C. Pinto, Poly. Eng. Sci., 30, 19(1990).

2. A. D. Schmidt and W. H. Ray., Chem. Eng. Sci., 36, 1401(1981).

3. R. Luus., Ind. Eng. Chem. Res., 30, (1991).

4. S. A. Dadebo and K. B. Mcauley., Ind. Eng. Chem. Res., 34, 6(1995).

5. S. M. Ahn, I. S. Kim and H. K. Rhee, Proc. of '96 KIChE Spring Meeting, Seoul, Vol. Ⅱ, 165(1996).

6. S. C. Chang, Ph.D. Thesis, Dept. of Chem. Eng., Seoul Nat'l Univ.(1995).

7. B. K. Jeong, M.S. Thesis, Dept. of Chem. Eng., Seoul Nat'l Univ.(1996).