균일 기체 유동 속의 액적의 증발에 복사열전달이 미치는 영향

김형석, 최문규

홍익대학교 화학공학과

The effects of the radiative heat transfer

on the evaporation of a droplet in uniform gaseous flow

Hyung Suk Kim, Moon Kyu Choi

Dept. of Chemical Engineering, Hong-Ik University

서론

고온, 고압 하의 연소실 내로 노즐을 통해 분사된 연료액적은 기상 흐름을 따라 가속되고, 이와 동시에 전도, 대류 및 복사를 통해 가열되면서 증발한다. 이러한 증발 현상은 연소 기관의 성능과 규모, 안정성, 오염물질을 예측하는데 중요하다. 또한 젖은 입자의 건조나 분무 건조에 의한 미립자의 제조도 같은 범주에 들어가는 문제들로서 증발에 의한 기상으로의 물질전달을 기체역학 및 열전달과 함께 정확히 예측할 필요가 있다.

액적의 증발에 대한 연구는 1950년대부터 시작되었으며 1970년대 이후로 전산모사를 통하여 단일 액적 주위의 유동과 열전달, 물질전달을 예측하려고 노력해 왔다. Patnaik은 고온, 고압 하의 균일 기체유동 속으로 분사된 단일 액적의 증발을 축대칭 원통좌표계에서 기상의 밀도 외의 다른 물리적 매개변수들이 상수라고 가정하여 모사하였다[1]. 그러나 액적이 고온 속에 있음에도 불구하고 복사열전달 효과가 전산모사에 포함되지 않았다. Sitarski는 Mie의 이론을 이용하여 슬러리 미분탄 내부에서 복사열전달에 의해 발생하는 열발생량을 입자 반경에 대하여 계산하였다[2]. 그러나 그는 기상과 액상의 이동현상을 전혀 고려하지 않았다.

본 연구에서는 위의 두 연구의 약점을 상호 보완하기 위해 두 연구 방법을 통합하여 액적 내부와 외부에서의 유동장, 온도장 및 농도장을 구하였다. 기상의 밀도 외에는 다른 모든 물리적 매개변수들을 상수라고 가정하였으며 액적이 등방의 흑체복사열을 받는다고 가정하여 액상과 기상의 지배방정식들을 동시에 풀었다. 수치해를 검증하기 위해 고체구에 대한 항력계수와 물방울에 대한 Nu 수 및 Sh 수를 여러 Re 수에 대하여 구하여 실험식과의 오차가 작음을 확인하였다. 초기단계의 결과로서 물방울에 대하여 복사열전달을 포함시키는 경우와 포함시키지 않은 경우를 각각 구하여 복사 효과의 영향을 고찰하였다.

이론

본 연구에서 기상의 밀도 외에 모든 물리적 매개변수들은 일정하며, We 수가 충분히 작기 때문에 액적은 구형을 유지하면서 증발한다고 가정한다.

1) 기상 지배방정식

[eqn: rm {partial rho} over {partial t} + del cdot (rho bold v ) = 0]	(1)

[eqn: rm partial over {partial t} (rho bold v ) + bold v cdot (rho bold vv )= - del P- mu del times ( del times bold v ) +{2over3}mu del ( del cdot bold v )]	(2)

[eqn: rm partial over {partial t} (rho C_p T )+del CDOT (rho C_p bold v T ) = kappa del^2 T]	(3)

[eqn: rm partial over {partial t} (rho Y_f ) + del CDOT (rho bold v Y_f ) = D del CDOT rho (del Y_f )]	(4)

[eqn: rm P = {rho R T } over M]	(5)

2) 액상 지배방정식

[eqn: rm {partial omega} over {partial t}} +rm bold v CDOT {del} omega -omega CDOT {del} bold v = nu del^2 omega]	(6)

[eqn: rm rho C_p {partial T} over {partial t} +rho C_p del CDOT ( bold v T ) = kappa del^2 T+Q(r)]	(7)

[eqn: rm del ^2 PSI = omega]	(8)

[eqn: rm v_r = 1 over r {partial PSI } over {partial z} `,`~~v_z = - 1 over r {partial PSI } over {partial r}]	(9)

3) 초기조건과 경계조건

초기 기상의 흐름은 균일 유동이고 액적의 내부유동이 존재하지 않으므로 와도와 유선함수가 0이며, 액적 내부의 온도는 균일하다. 증발물질이 액적 표면에서 상평형이 이루며 액상과 기상의 전단응력이 같고, 표면 온도도 기상과 액상이 동일하다고 가정한다. 흐름이 유입되는 무한위치에서의 모든 변수들은 초기값으로서 일정하다. 유출흐름([eqn: r = r_inf , pi / 2 <= theta <= pi])에서는 모든 변수들의 substantial derivative가 0과 같다. 또한 모든 변수들은 축방향으로 대칭이다.

4) 복사 열전달에 의한 액적 내부의 열발생량 계산

미립자가 연소로 내에서 받는 복사파는 주변 온도(Tbl)에 있는 흑체로 부터의 등방 복사라고 가정하며 그에 따른 액적 내부의 열발생량이 액상에서의 에너지 방정식(식(7))에 사용된다. 먼저 Mie의 해를 써서 어느 한 파장의 복사파로 인해 미립자 내에 형성되는 전기장 벡터를 계산한 후 열발생율을 계산한다.

[eqn: rm Q({bold r};□)~=~I_0 {4~pi {rm R{rm e}}(n) {rm Im}(n)} OVER {lambda}{{ \|{rm bold E ({boldr};□)}\|^2}over{\|{bold E} _0 \|^2}}]	(10)

여기서 n은 액적의 굴절율이고 □는 복사파의 파장이며 E는 전기장 벡터이다. 이 식의 [eqn: rm B={{\|bold E \|^2} /{\|{bold E}_0 \|^2}}] 가 Mie의 해로서 얻어진다. 다음 아래 식과 같이 각 파장에 대한 열발생율을 모든 파장에 대하여 적분함으로써 어느 특정 방향에서 오는 복사파에 의한 열발생량을 얻을 수 있다.

[eqn: rm Q({boldr};{T_bl})~=~int_0^inf d□~P({T_bl},□)~ Q({bold r};□)]	(11)

위에서 확률 밀도 P는 Plank의 법칙에 따라 복사파의 파장과 미립자 주위의 흑체온도의 함수로서 다음 식으로 표현된다.

[eqn: rm P({T_bl},lambda)~=~15{{(C_2 / pi lambda {T_bl})^4}over{lambda~exp({C_2 over {lambda T_bl} ~-~1)}}}]	(12)

여기서 [eqn: rm C_2]의 값은 [eqn: rm C_2 ~= ~1.4388~times~10^{-2} ~m cdot K] 이다. 강도 I0의 비편광 빛에 대하여 국소 열발생량이 다음과 같이 얻어진다.

[eqn: rm Q(r,theta)=intdI{{4 pi Re(n) Im(n)}over lambda} B(r,theta;lambda,theta_i )]	(13)

여기서 [eqn: rm dI=P(T_bl , lambda) d lambda ({{sigma T_bl ^4}over pi}) d Omega_i] 이고 [eqn: rm P(T_bl , lambda)]는 파장[eqn: lambda]에서 흑체복사가 갖는 확률밀도이다. 그런데 액적은 모든 방향으로 부터 균일한 복사열을 받으므로  [eqn: rm int_0 ^pi B(r, theta;lambda,theta_i ) sin theta_i d theta_i]는[eqn: theta]에 관계없이 일정해야 한다.

또한[eqn: rm B(r, theta;lambda,theta_i )=B(r,pi-|{theta_i - theta}|;lambda,pi)]임을 주목할 때 [eqn: theta=pi] 라고 놓으면          [eqn: rm int_0 ^pi B(r, theta;lambda,theta_i ) sin theta_i d theta_i = int_0 ^pi B(r, theta_i ;lambda,pi) sin theta_i d theta_i]	(14)

이다. 따라서 열발생량은 다음과 같이 정리된다.

[eqn: rm Q(r) = int_0 ^infty d lambda P(T_bl , lambda) (sigma T_bl ^4 ) (2) int_0 ^pi {{4 pi Re(n) Im(n)}over{lambda}}B(r,theta_i ; lambda,pi)sin theta_i d theta_i]	(15)

6) 수치해석 방법

액적표면 근처의 경계층에서 계산을 정확히 하기 위하여 액적표면 근처에서 격자를 촘촘히하고 표면으로 부터 멀어질수록 성기게 하였다. 따라서 구좌표계나 원통좌표계를 쓰면 계산이 매우 불편하므로 좌표변환하여  (□,□) 직교 좌표계에서 유한 체적법을 사용하였다. 액적의 감소를 추적하기 위해 반음해법 (semi-implicit method)을 사용하였다. 즉, 어느 시간간격 동안에 액적의 크기는 일정한 상태에서 다른 변수들의 값을 음해법으로 구하였다. 그 다음 새로운 액적의 크기를 양해법으로 계산하였다. 식 (15)를 계산하기 위하여 □의 대표값 5개를 써서 □에 대한 적분을 하였고 [eqn: theta_i]에 대한 적분을 위해 121개의 표면점을 사용하였다. 수렴방법으로서 Simple 알고리즘을 사용하였고 alternate direction predictor corrector 법을 써서 변수들을 시간에 따라 추적하였다.

결과 및 토론

전산 프로그램을 검증하기 위하여 등온 기체유동 속의 고체구에 대한 항력계수를 여러 Re 수에 대하여 구하여 아래의 실험식과 함께 Figure 1에 나타내었다.

[eqn: rm C_D = 18 over {rm Re}^{3/5}``~~~ (2<Re<300)]	(16)

액적에 대한 모사 알고리즘을 확인하기 위하여 700 K인 공기와 초기 온도가 300 K인 물방울의 Nuf 수와 Shf 수를 여러 Re 수에 대하여 구하였다. 이들이 Figure 2에서 다음의 Renksizbulut와 Nafziger의 상관식[3]과 함께 비교되어 있다.

[eqn: rm {N u}_f (1+B_{H,f})^0.7 = 2+0.57{Re}^{1/2} {Pr_f}^{1/3}~~(10<Re <2000)]	(17)

[eqn: rm Sh_f (1+B_{M,f})^0.7 = 2+0.87{Re}^{1/2} {Sc_f}^{1/3}~~~(10<Re <2000)]	(18)

여기서[eqn: rm B_{M,f}]와[eqn: rm B_{H,f}]는 각각 [eqn: rm B_{H,f} = (T_inf} - rm bar T_s ) C_p / lambda] 와  [eqn: rm B_{M,f} = (bar Y_{f,s} - Y_{f,inf} ) /(1-bar Y_{f,s })] 로서 정의된다. 수치모사로 구한 Shf 수가 식(18)보다 위에 위치하는 이유는 모사에 사용된 기상과 액상의 중간온도에서의 확산계수 값이 액적표면에서의 실제 확산계수보다 크기 때문이다.

Figure 3과 Figure 4는 각각 기상 온도가 1300K이고 물방울 초기온도가 300K인 경우에 계산한 결과로서 복사 열전달을 포함한 경우와 포함하지 않은 경우에 대하여 액적 내부에서의 온도분포를 나타내었다. 복사 열전달이 포함된 경우는 액적 내부 온도 분포가 복사가 포함되어 있지 않은 경우보다 더욱 깊히 발달하였다. 이는 기상 온도가 매우 고온이므로 복사 효과가 전도와 대류에 비하여 비교적 크기 때문이다.

Figure 1. Re 수에 따른 고체구에 대한 항력계수의 변화.

Figure 2. Re 수에 따른 액적에 대한 Nu 수와 Sh 수의 변화.

Figure 3. 무차원 시간이 1.0일 때 복사를 고려하여 얻은 액적내부의 온도분포.

Figure 4. 무차원 시간이 1.0일 때 복사를 고려하지 않고 얻은 액적내부의 온도분포.

참고문헌

1) G. Patnaik, A numerical solution of droplet vaporization with convection, Ph. D. Dissertation: Carnegie-Mellon University, Department of Mechanical Engineering (1986).

2) M. Sitarski, On the feasibility of secondary atomization of small slurry droplets exposed to intense thermal radiation, Combust. Sci. and Tech. 54,  177-201 (1987).

3) M. Renksizbulut, R. Nafziger and X. Li, A mass transfer correlation for droplet evaporation in high-tenperature flows, Chem. Eng. Sci. 46, 2351-2358 (1991).

감사의 글

본 연구는 한국과학재단 핵심연구과제(951-1106-051-2)의 지원에 의해 연구되었으므로 이에 감사드립니다.