안정한 수평 다공성유체층에서 부력에 의한 물질전달 상관관계

김민찬, 신승일*, 윤도영*, 최창균**

제주대학교 화학공학과, 광운대학교 화학공학과*, 서울대학교 화학공학과**

Correlations of Buoyancy-Driven Mass Transfer in a Stable

Horizontal Porous Layers

M.C. Kim, S.-I. Shin*, D.-Y. Yoon* and C.K. Choi**

Dept. of Chem. Eng., Cheju National University, Cheju 690-756

*Dept. of Chem. Eng., Kwangwoon University, Seoul 139-701

**Dept. of Chem. Eng., Seoul National University, Seoul 151-742

서론

자연대류는 중력장하에서 온도 또는 농도차에 의하여 유발되는 부력 및 표면장력의 변화가 점성 및 확산력을 극복할 때 발생한다. 다공성 매질층에서의 자연대류는 충전탑에서의 물질전달, 농산물 저장계, 지하에서의 오염물질의 이동, 원자로의 냉각등과 밀접한 관련이 있다. 따라서 자연대류의 발생에 의한 전달특성의 변화는 공정의 설계 및 제어에서 중요한 역할을 한다.  특히, 태양못 및 결정성장 공정 같은 계에서는 온도 및 농도차에 의한 이중확산대류가 발생하게 된다.

다공성 매질층에 포화된 유체의 유동 지배방정식은 추진력이 크기가 커짐에 따라 Darcy 방정식에서 Forchheimer 방정식으로 전이되어진다.[1] 균질 유체층에서의 전달 상관식은 Long [2], Cheung [3] 및 Arpaci [4]등에 의하여 체계적으로 연구되었다. 다공성 매질층에 대해서는 Yoon [5]이 Long과 Cheung의 이론을 확장하여 전달상관식을 유도하였고 Kim등 [6]은 Arpaci의 micro-scale 이론을 확장하여 새로운 전달상관식을 발표하였다.  이중확산 대류에 관하여는 비정상 계에서의 대류발생시점을 예측하기 위한 각종 연구가 진행되어 왔으나, 다공성 유체층에서의 전달량의 예측에 대한 연구는 거의 미미한 실정이다.

본 연구에서는 윗면이 가열되어 초기에 안정하게 성층화되어 있는 계에서 이온의 물질전달에 의하여 유발되는 부력에 의한 이중확산 대류와 관련된 물질전달 상관식을 유도하고, 실험을 통하여 이를 보완하고자 한다.

전기화학실험

본 연구에서 채택한 전기화학계에서는 화학적인 안정성이 높고, 물성치가 잘 알려져 있는 황산구리-황산수용액을 전해용액으로 사용하였다.  전극으로는 양극과 음극 모두 구리판으로 구성하여, 두 수평전극간에 전위차가 주어지면 전극면에서 구리이온이 산화/환원반응이 일어나는 전기도금계를 채택하였다.  실험장치는 Fig. 1. 에 나타나 있는 바와 같이 컴퓨터 제어용 Potentiostat/Galvanostat (EG&G Parc. Model 263A, 94option), 전극셀, 그리고 PC로 구성되었다.  열적으로 안정한 계를 구성하기 위하여 상부면이 가열되며, 하부면은 일정온도로 유지시켰다. 한편, 다공성매질은 일정규격의 유리구를 사용하였으며, 유리구의 크기, 양극간의 온도차와 전해액의 농도를 바꾸면서 실험조건들을 변화시켰다.  실험방법으로는 각 조건에 대한 한계전류를 측정하고, 한계전류에 해당되는 전위차를 전극에 부여하여 전류의 방향에 대한 대류 및 확산 그리고 확산만의 물질전달량을 측정하였다.  물질전달량은 측정과 환산이 용이하므로 본 연구에서 필요한 주요무차원 수들이 용이하게 구해질 수 있다.  그 결과들이 Fig. 2 에 나타나 있다. 실험결과들을 모델링하기 위하여 다음의 상관식을 고려하기로 한다.

전달상관식

1. 층류영역

본 연구에서는 수평 다공질 매질층에서의 유동현상을 해석하기 위하여 Forchheimer 모델을 유동 방정식으로 채택하였다. 따라서 운동량 수지식과 물질 수직식은 다음과 같이 된다.

[eqn: nu over K u + b u^2 approx g beta Delta C - g beta_T Delta T] ,   [eqn: u {Delta C} over l approx D {Delta C} over {delta_c^2}]           (1)

여기서[eqn: nu]는 동점도, K는 다공성 매질의 투과도, u는 속도, b는 Forchheimer상수, g는 중력가속도,[eqn: beta]는 농도에 의한 부피 팽창계수, [eqn: Delta C]는 농도차, [eqn: beta_T]는 온도에 의한 부피팽창 계수, [eqn: Delta T]는 온도차, l은 계의 기하학적 특성을 나타내는 길이 척도, [eqn: delta_c]는 농도 경계층 깊이이다.  위의 두식을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

[eqn: left ( l over {delta_c} right )^2 + 1 over Sc_p left ( l over {delta_c} right )^4 approx Rs_D - L e cdot Ra_D]                    (2)

여기서[eqn: Rs_D = K g beta Delta C l / D nu], [eqn: Ra_D = K g beta_T Delta T l / alpha nu], [eqn: L e = alpha / D]이다. 층류 영역에서의 물질전달 상관식은 [eqn: Sh approx l over delta_c] 의 관계를 갖게 된다.

식 (2)의 극한의 경우를 고려하면 다음과 같은 결과을 얻을 수 있다.

[eqn: Sh approx left { MATRIX { { (Rs_D - L e cdot Ra_D )^{1/2} ,}& {Sc_p >> (Rs_D - L e cdot Ra_D ) }# { Sc_p^1/4 (Rs_D - L e cdot Ra_D )^{1/4} , }& { (Rs_D - L e cdot Ra_D ) >> Sc_p } }]         (3)

2. 난류영역

Arpaci는 난류의 micro-scale을 고려하여 균질 유체층에서의 새로운 전달 상관식을 유도하였다. 최근 Kim 등[6]은 Arpaci의 이론을 다공성 매질층으로 확장하여 새로운 전달상관식을 유도하여 기존의 실험적, 이론적 결과와 비교하였다. 이 해석을 본 연구의 계로 확장하자.  Arpaci의 해석에 의하면 속도 요동의 평균 운동에너지의 수지식 및 엔트로피 수지식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: P_beta ~SIM ~ P_i ~+~ ( - epsilon )] ,  [eqn: P_theta ~sim ~ epsilon_theta]                      (4)

Arpaci는 부피 평균 점성 소산 속도를 vortex tube에서의 국지 소산 속도 [eqn: nu (u^2 / eta^2 )]과 직경[eqn: eta]의 vortex tube가 차지하는 부피분율 [eqn: ( eta / lambda )^2]의 곱으로, 그리고 다공성 매질층에서 vortex tube에서의 국지 소산 속도를 [eqn: nu (u^2 / K )]라 가정하면 다음과 같은 관계를 얻는다.

[eqn: epsilon ~sim~ nu u^2 over eta^2 left ( eta^2 over lambda^2 right )^2] ,   [eqn: epsilon ~sim~ nu u^2 over K left ( eta^2 over lambda^2 right )^2]              (5)

여기서 [eqn: lambda]와[eqn: eta]는 각각 Taylor와 Kolmogrov scale이다. 또한 크기가[eqn: lambda]인 eddy에서 국지 관성 생성항을 [eqn: u^3 / lambda]로 한 부피 평균 관성 생성항을 다음과 같다.

[eqn: P_i ~sim ~ u^3 over lambda left ( lambda over eta right )]                                    (6)

다공성 매질층에서는 국지 관성 생성항이 [eqn: bu^3]이므로 부피 평균 관성 생성항을 고려한 수지식과 엔트로피 수지식으로 부터는 다음과 같은 식들을 얻을 수 있다.

[eqn: nu u^2 over K left ( eta^2 over lambda^2 right )^2 ~+~ b u^3 lambda over l ~sim~ P_beta]    , [eqn: u c^2 over l ~sim~ D c^2 over lambda_c^2]            (7)

여기서 u와 c는 속도와 농도 요동의 rms값이고, 난류는 등방성이라 가정하였다. 난류 상태에서 속도 경계층 깊이와 농도 경계층 깊이가 같다고 가정하고[eqn: lambda]와[eqn: eta]를 [eqn: lambda_c]와 [eqn: eta_c]로 대치하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[eqn: lambda_c ~sim~ l^1/3 left { eta_c^2 + bK D over nu lambda_c right } ^1/6 left ( {D^2 nu } over {K P_beta} right )^1/6]                  (8)

또한 l과 [eqn: lambda_c]는 각기 다른 scale 이지만 [eqn: eta_c]와 같다고 가정하면 다음과 같다.

[eqn: eta_c ~sim~ left { eta_c^2 + bK D over nu eta_c right } ^1/4 left ( {D^2 nu } over {K P_beta} right )^1/4]                     (9)

또한, isotropic 속도 [eqn: w = D / eta_c]라 두면 부력 생성항 [eqn: P_beta]는 다음과 같이 된다.

[eqn: P_beta = ( g beta c - g beta_T Delta T ) w = ( g beta c - g beta_T Delta T ) D over eta_c]         (10)

Arpaci에 의한 Sherwood 수와 위의 결과들을 종합하면 다음과 같다.

[eqn: Sh ~sim~ { l / eta_c } over { 1 - ( 1/ eta_c ) ( 1/ lambda_c )^2 }]                         (11)

[eqn: eta_c over l = A left { eta_c over l + B Sc_p^-1 right }^1/2 ( Rs_D - L e cdot Ra_D )^-1/2]            (12)

[eqn: left ( lambda_c over l right )^2 = C left ( eta_c over l right ) ^3/4 { left { eta_c / l + Sc_p^-1 ( l/eta_c ) (lambda_c / l ) right }^1/3 } over { left {( eta_c / l ) + D Sc_p^-1 right }^1/3 }]         (13)

위의 식의 극한의 경우를 살펴보자.

[eqn: Sh = { C_1 (Rs_D - L e cdot Ra_D ) } over { 1 - C_2 ( Rs_D - L e cdot Ra_D )^-1/3 }]   for [eqn: ( Rs_D - L e cdot Ra_D ) << Sc_p^2]         (14)

[eqn: Sh ~=~ { C_3 ( Sc_p cdot Rs_D - P r_p cdot Ra_D )^1/2 } over { 1 - C_4 ( Sc_p cdot Rs_D - P r_p cdot Ra_D )^-1/10 }]  for [eqn: ( Rs_D - L e cdot Ra_D ) >> Sc_p] (15)

전기도금계의 경우에는 외력이 크므로 식 (19)를 적용할 수 있다.  실험결과를 이용하여 최소제곱법을 사용하여 상수를 결정하면 다음과 같은 전달 상관식을 얻을 수 있다.

[eqn: Sh ~=~ { 0.03054 ( Rs_D - "Le" cdot Ra_D )^1/2 } over { 1 - 3.8788 ( Rs_D - "Le" cdot Ra_D )^-1/10 }]              (16)

위의 결과는 Fig. 3 에 보이는 바와 같이 98%이상의 집중도를 보여주고 있다.

결론

본 연구에서는 층류 및 난류 영역에서 다공성 매질층에 대한 전달 상관식을 유도하였다. 본 연구의 결과는 Darcy영역 및 Forchheimer영역을 동시에 만족하는 결과를 주며, 실험결과를 합리적으로 설명한다.

참고문헌

1. Cheng, P., "Natural Convection in Porous Medium, Natural Convection:

Fundamentals and Applications", Hemisphere, 475 (1985).

2. Long, R.R., J. Fluid Mech., 73, 445 (1976).

3. Cheung, F.B., J. Fluid Mech., 97, 734 (1980).

4. Arparci, V.S., Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf., 1, 129 (1994).

5. Yoon, D.Y., Seoul National University Ph.D. Thesis (1990).

6. Kim, M.C., Yoon, D.Y. and Choi, C.K., Theories & Applications of Chem.

Eng., 3, 1145 (1997).

Fig. 1. Experimental setup of electrochemical devices.

Fig. 2. Mass transfer rates.            Fig. 3. Correlations of transfer rates.