차수 감소 모델을 이용한 증류탑의 동적모사

김태민, 양대륙, 이민호*, 이광순*

고려대학교 화학공학과, 서강대학교 화학공학과*

Dynamic Simulation of a Distillation Column

Using a Reduced Order Model

Tae Min Kim, Dae Ryook Yang, Min Ho Lee*, Kwang Soon Lee*

Department of Chemical Engineering, Korea University

Department of Chemical Engineering, Sogang University*

1. 서론

공정의 제어 혹은 최적화를 수행하는 데 있어서 대상공정의 모델링은 필수적인 과정이며, 모델링방법과 이로 부터 구해지는 모델의 종류는 다양하다. 증류공정에 대하여 엄밀모델의 경우에는 일반적으로 복잡한 열역학적 관계식과 함께 방대한 수의 미분방정식으로 표현된다. 이와 같이 구성한 엄밀모델도 평형관계 표현, 단효율, 내부환류량 및 외부로의 열손실 등이 불확실하기 때문에 실제 공정과는 종종 벗어나는 결과를 주며, 수식이 비선형적이고 공정변수 또한 비선형적으로 포함된 엄밀모델식을 실시간대에서 반복적으로 인식하는 것은 현실성이 희박하다. 따라서 본 연구에서는 엄밀모델과 유사한 정확도를 가지며 계산시간을 단축하기 위한 수단인 차수감소모델을 구성하여 실시간대 이용이 가능하고, 선형의 상태공간방정식 형태로 표현할 수 있어서 선형모델이 갖는 장점을 유지할 수 있도록 한다. 차수감소기법들로는 불연속적인 공정 변수들을 연속적인 것으로 가정하여 편미분 방정식으로 표현하고, 내삽함수(cubic spline)를 도입하여 공정수식을 배열점에서 재구성하는 배열법(Collocation)과, 주어진 앙상블로부터 신호처리를 통한 최적성분을 찾는 PCA(Principal Component Analysis), 시간축의 데이타를 주파수 분해능(frequency resolution)을 통하여, 기저벡터(basis vector)를 구하는 DCT(Discrete Cosine Transformation)등이 있다. 본 연구에서는 각 차수감소모델들에 대한 성능을 비교분석하고자 한다.

2. 본론

차수감소기법을 단순모델에 대하여 적용하기위하여, 기본 가정들은 다음과 같다.

□ Constant molar overflow

□ Liquid holdup in each tray is constant

□ Vapor holdup is negligible

□ Vapor leaves a tray at equilibrium with liquid

□ The holdups in the accumulators are constant

이성분계 증류공정의 동특성방정식은 다음과 같다.

응축기

[eqn: scale 80 rm H_c {dx_1}over {dt} =V_r (y_1 -x_1 )]	(1)

각 단에서,

[eqn: scale 80 rm H_m {dx_j } over {dt} = V_m (y_j -y_j-1 ) +L_m (x_j-1 - x_j ) +q F_1 x_f +(1-q)F_2 x_f]	(2)

여기서 j=NF인경우 F1=F, j=NF-1인 경우 F2=F, 다른 모든경우 0

재비기에서

[eqn: scale 80 rm H_b {dx_NT} over {dt} = L_s x_NT-1 - V_s y_NT-1 -Bx_NT]	(3)

다른 관계식

[eqn: scale 80 rm L_s &=L_r +qF#scale 80rmV_s &=V_r - (1-q) F#scale 80rmy_j &=K_j x_j+1]	(4)

행렬형태로 표시하면,

[eqn: scale 80 rm {d{bold X}} over dt ={bold A boldX}+ {bold b} {x_ {rm F}}]	(5)

여기서 [eqn: &rm scale 63 {bold A }=pmatrix{ - V_r over H_c & {K_1 V_r} over H_c &0 & CDOTS&CDOTS&0# L_r over H_r &- {V_r K_1 +L_r} over H_r & {V_r K_2 }over H_r & 0 &DDOTS& DOTSVERT # & DDOTS & DDOTS & DDOTS# DOTSVERT &L_r over H_r &- {V_r K_NF-1 +L_r} over H_r & {V_s K_NF }over H_r &DDOTS&DOTSVERT#DOTSVERT&DDOTS&L_r over H_s &- {V_s K_NF +L_r} over H_s & {V_s K_NF+1 }over H_s &DOTSVERT#&& DDOTS & DDOTS& DDOTS #0&CDOTS&CDOTS&CDOTS& L_s over H_b&- {V_s K_NT-1 +B} over H_b} scale 60 {bold b} =pmatrix{0# DOTSVERT #(1-q)F over Hr#qF over H_s #dotsvert#0}#scale 60 &rm {bold X^T}= LEFT { x_1 , CDOTS , x_NF-1 , x_NF , cdots, x_NT RIGHT }]

차수감소모델

그림  Coordinates of a distillation column for reduced-order model

배열법은 그림 1과 같이 정류부와 탈거부에 대하여 연속 공간좌표 z를 설정하고, 모든변수를 z에 대하여 연속으로 가정한다. 적당한 다항식의 내삽함수를 선택하고, 단순모델식을 임의의 배열점에서 재구성하면 다항식 근사에 의한 이성분 증류공정의 차수감소모델을 얻을 수 있다. 차수감소모델의 구성에 필요한 내삽함수의 일반적인 형태는 다음과 같이 쓸수 있다. 여기서는 Cubic spline을 내삽함수로 사용하였다.

[eqn: scale 80 rm x(z) = SUM from { { p}=1} to n S_p (z) x(z_p )]	(6)

수식표현의 복잡성을 덜기 위해, 다음의 관계를 정의한다.

[eqn: scale 80 rm a_p (z) &=S_p (z- DELTA z) # scale 80 rmb_p (z) &=S_p (z+ DELTA z) #scale 80 rmc_p (z) &=S_p (z) - S_p (z- DELTA z) #scale 80 rmd_p (z) &=S_p (z) - S_p (z+ DELTA z)]	(7)

여기서 □z는 단간격이고, 정류부에서는 1/(NF-2)이고, 탈거부에서는 1/(NT-NF +1) 이다.

응축기

[eqn: scale 80 rm {dx_r (z_1 )} over {dt}= V_r over H_c LEFT [ y_r (z_1 ) -x_r (z_1 ) RIGHT ]]	(8)

정류단

[eqn: scale 80 rm {dx_r (z_p ) } over dt = 1over H_r SUM from { { j}=1} to nr c_j (z_p ) [V_r y_r (z_j ) -L_r x_r (z_j ) ]], p=2,…,nr	(9)

탈거단와 재비기

[eqn: scale 80 rm {dx_s (z_p ) } over dt = 1 over H_s SUM from { { j}=1} to ns d_j (z_p ) [ V_s y_s (z_j ) - L_s x_s (z_j ) ]], p=1,…,ns-1	(10)

여기서  p=1일때, Hs =Hb

경계조건으로,

[eqn: scale 80 rmy_s (z_1 ) &= x_s (z_1 )#scale 80rmL_s x_s (z_ns ) &= L_r x_r (z_nr ) +q Fx_f#scale 80rmV_s y_s (z_ns ) &= V_r y_r (z_nr ) - (1-q)F x_f]	(11)

PCA와 DCT는 데이타 앙상블로부터 정직교(orthonormal)기저벡터를 구하고, 이들중 가장 적절한 벡터을 실제공정 차수보다 낮게 선택하여 차수감소모델을 구성한다. 위의 단순모델을 PCA (or DCT)을 이용하여 재구성하면 다음과 같다. n차의 벡터인 경우 X={x1,…,xn}, 기저벡터를 {v1,…,vn}라 하자. 이 때 i는 시간지표임

[eqn: scale 80rm {bold x}_i = alpha _i,1 {bold v}_1 +cdots+alpha _i,n {bold v}_n]	(12)

만약 m차(m<n) 부분공간으로 xi을 표현할수 있다면,

[eqn: scale 80 rm {bold x}_i APPROX bmatrix{{bold v}_1&{bold v}_2& CDOTS &{bold v}_m} bmatrix{ alpha _i,1#alpha _i,2#DOTSVERT #alpha _i,m } = { bold tilde V}}{bold alpha}_i]	(13)

식(13)을 이용하여 단순모델식 식(5)에 적용하면,

[eqn: scale 80 &rm {tilde bold V} {d {bold alpha}_i} over dt = {bold {A {tilde V} alpha}} _i + {bold b} x_F#&rm {bold x}_i= {bold {tilde V alpha} }_i]	(14)

PCA의 경우, V는 다음의 목적함수를 최소화하는 과정을 통하여 결정된다.

[eqn: scale 80 rm bold v = arg min LEFT { J({bold v})= 1over 2N SUM from { { i}=1} to N || {bold x}_i - <{bold x}_i , {bold v} > ||^T RIGHT }]	(15)

여기서 <v,v>=1 이고, 이를 만족하는 v를 구하면, 고유치문제로 귀결된다.

[eqn: scale 80 rm bold Xv =alpha bold v] 여기서[eqn: scale 80 rm bold X = 1 over N SUM from { { i}=1} to N {bold x}_i {bold x^T }_i]	(16)

DCT의 경우, 시간영역의 데이타 앙상블을 DCT를 이용하여 주파수영역으로 사영시켜 기저벡터를 구한다.

[eqn: scale 80 rm {bold x }^C = bold Cx]	(17)

여기서[eqn: scale 70 rm &{bold x}^C = bmatrix{x^C ( omega _o )#x^C ( omega _1 )# DOTSVERT #x^C ( omega _n-1 )} ,bold x = bmatrix{x_1 #x_2#dotsvert#x_n-1 }]

여기서 C-1=CT, I=CCT=CTC

[eqn: scale 80 rm bold C =[c_r,k ]~c_r,k= cases{ &root{1 over n} cos pi(2k+1)r over 2n ~r=0#&root{2 over n} cos pi(2k+1)r over 2n ~r != 0}]  k,r=0,1,…,n-1	(18)

3. 결과 및 토의

차수감소모델의 근사성능을 검증하기 위하여 물-메탄올 이성분계 분리공정에 대하여, 환류량과 기상유량에 각각 -3%의 계단입력을 주어, 모사를 수행하였다. 모사에 필요한 운전조건은 표 1와 같다. 평형상수값은 HYSIS simulator로 부터 구하였다.

표  물-메탄올 이성분계의 운전조건

No. of trays Feed tray Normal holups	13 7th from the condenser Hc=15 mol, Hr=2.5 mol Hs=3.5 mol HB=23 mol
Feed flow rate Feed condition Top product flow rate Reflux flow rae	216 mol/hr xF=0.5, q=1.001 108 mol/hr 60 mol/hr
Distibution constants from top tray to the reboiler	1.1247 1.2087 1.2940 1.3752 1.4470 1.5063 1.5523 1.5537 1.5582 1.5730 1.6227 2.1007 3.0235 4.9596

모사결과는 그림 2와 같이 단순모델과 차수감소모델이 거의 같은 동특성을 나타낸다.

(a) Lr	(b) Vs

그림 2. -3%의 계단변화시 모델응답의 비교

배열법의 경우, 복잡한 수식 전개가 필요하고 배열점 위치에 따라 정상상태 해에 대한 영향을 준다. 배열점은 정류단에서는 [0 0.49 1], 탈거단 [0 .258 1]로 선택하였다. PCA의 경우, 단순모델로부터 쉽게 차수감소모델을 구할 수 있다. 그러나, 기저벡터를 계산하기 위해서는 주어진 데이타 앙상블을 가지고 있어야한다. 위 모사에서 PCA의 기저벡터는 PRBS을 통한 Random Input Test에 의해 결정하였다. DCT의 경우, 성능면에서 위 차수감소모델보다 낮으나 정직교벡터로 기저벡터가 이미 주어져있고, 모사과정중에 선택된 기저벡터세트의 변화가 없기때문에, 데이타 앙상블이 필요하지 않고 단순히 계수값의 크기로 기저벡터를 쉽게 결정할 수 있다

4. 참고문헌

1) 김흥식, 1990, Ph.D. Thesis, 서강대학교

2) Samuel D.Stearns, Ruth A. David, Signal Processing Algorithms in Matlab,Prentice Hall, 1997.

3) Cho Y. S. and B. Joseph, □Reduced-order steady-state and dynamic models for separation processes-I,II.□, AICHE Jl, 29,261-276.