급격한 밀도 경계면을 통한 열 및 물질의

이중 확산에 관한 연구

김영수, 조은숙, 김효

박영*, 박철수*, 홍성호*

서울시립대 화학공학과

* 한국가스공사 연구개발원

A Study on the Double Diffusivities of Heat and Mass

across a Sharp Density Interface

Young Soo Kim, Eun Sook Cho, Hyo Kim

Young Park*, Chul Soo Park*, Sung Ho Hong*

Dept. of Chemical Engineering, University of Seoul

*R & D Center, Korea Gas Corporation

서론

유체가 서로 다른 밀도로 층화 되었을 때 계면을 통한 열 및 물질 전달 현상을 이중확산 이론을 이용하여 해석하였다. 이 이론은 해양학의 열 유동적 해석을 위한 연구와 함께 정립되어온 것으로서 열 확산 및 물질 확산의 계수에 차이가 있어 발생되는 난류성 자연 대류의 현상을 갖는 계에서 서로 분리되어 있는 층의 계면간의 열 및 물질 전달 특성은 계면의 안정도[eqn: {beta TRIANGLE S} over {alpha TRIANGLE T}]에 의존함을 말한다. 이때 계면의 안정도란 층간의 온도 차이에 의한 밀도 변화와 물질량의 차이에 의한 밀도 변화의 상대적 비율을 의미하며 여기서 [eqn: alpha],[eqn: beta]는 각각 열 및 물질 팽창 계수이며,[eqn: TRIANGLE S],[eqn: TRIANGLE T]는 각각 계면의 용질 분율, 온도의 차이이다.

본 연구에서는 소금물과 증류수를 층화시켜 시간에 따라 각 층에서의 농도와 온도 변화를 측정하였으며 이로부터 계면이 급격하게 불안정해지는 시점과 안정도와의 관계를 해석하였다.

이론

경계면에 얇은 고체 판의 완전한 전도체가 삽입되었을 때, 경계면 사이에는 물질 전달이 없고 오로지 열전달만 있으므로, Nusselt수 [eqn: N u][eqn: (={{H} over {k_T TRIANGLE T/h}}], [eqn: k_T]는 열에 의한 분자 확산도, [eqn: h]는 층의 깊이이다.)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: N u = c·R a ^{1/3}] .                                                  (1)

여기서 c는 비례 상수로서 0.085이며, [eqn: Ra][eqn: (=( {ga over kappanu }) TRIANGLE T~h^3 )]는 Rayleigh수로서 Pr와 Gr의 곱으로 표현된다.

[eqn: H=A( TRIANGLE T)^ {4/3}].                                                   (2)

[eqn: H]는 경계면을 통한 열 선속을 나타내며 [eqn: A]는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: A=ck_T ({g alpha} over {kappa nu})^{1/3}],                                                 (3)

여기서 g는 중력가속도, [eqn: alpha]는 단위 온도 당 부피 팽창 계수, [eqn: kappa]는 열전도도, [eqn: nu]는 동점도이다.

경계면이 움직이고 소금이 경계면을 통해 이동될 때, Nusselt수는 다음과 같은 인자들의 함수로 표현된다.

[eqn: N u = ( R a], □△S/□△T, [eqn: k_S / k_T][eqn: )],

여기서 [eqn: k_S]는 소금에 대한 분자 확산도이다.

[eqn: N u]수가 [eqn: Ra]수에 의존하고, 분자확산도의 비에는 무관하다고 하면(실제 이 실험에서 거의 일정함), 온도차에 의한 [eqn: N u]수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: N u=f_1 (R_rho ) Ra^{1/3}}={{H} over {k_T TRIANGLE T/h}}] ,                                  (4)

또한 소금 선속을 고려한 [eqn: N u]수는 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

[eqn: N u=f_2 (R_rho ) Ra^{1/3}={{ F_S} over {k_S TRIANGLE S/h}}]  ,                                 (5)

[eqn: F_S]는 경계면을 통한 소금 선속이다.

식(5)를 식(4)로 나누면, 식(6)과 같이 표현되며 이로부터 층의 깊이[eqn: h]에 무관한 식을 얻을 수 있다.

[eqn: {{F s} over {TRIANGLE S}} CDOT {{TRIANGLE T} over {H}} ={k_S over k_T}f_3 (R_rho ) = { K_S} over {K_T }]                                 (6)

여기서 [eqn: K_S ,K_T]는 소금과 열에 대한 난류 이동 계수들이며, [eqn: {F s} over {TRIANGLE S}=K_S]이고 [eqn: {H} over {TRIANGLE T}=K_T]이다. [eqn: f ,f_1 , f_2 , f_3]은 무차원 함수들로서, 실험을 통해 구할 함수이다.

실험

소금물의 농도는 0.2∼2.0%로 변화시켜 주었다.

탱크의 재질은 pyrex로 직경이 30cm이고, 옆면과 윗면은 단열 되며, 바닥은 구리로, 이곳으로 가열이 된다. 가열은 모든 바닥이 골고루 균일하게 되도록 했다. 이 원형 탱크 안에 증류수를 높이가 12 cm가 되도록 넣은 후 정치했다. 그 다음 만들어 놓은 소금물을 펌프로 천천히 조심스럽게 증류수 밑에다 넣어주었다. 벽은 단열 시키고, 바닥으로 열을 공급했다.

시간에 따른 두 층의 온도와 농도, 밀도를 측정하고 그 때의 데이터를 기록, 시간에 따른 그래프를 그려 주었다. 실험은 두 층이 완전히 합쳐질 때까지 했다. 실험이 끝나면 초기 소금물의 농도를 바꿔 가며 해 주었다.

결과 및 고찰

실험 결과로부터, 열선속과 소금과 열의 상대 이동속도가 [eqn: R_rho]에 의존함을 알 수 있다. 식(6)에서[eqn: {K_S} /{K_T}]가 감소함에 따라 [eqn: R_rho]가 증가한다. 경계면이 불안정할 때 [eqn: {K_S} /{K_T}]는 1에 접근한다. 이는 열과 소금이 같은 난류 소용돌이에 의해 이동된다는 것을 의미한다. [eqn: R_rho]가 1과 3 사이의 값일 때, [eqn: {K_S} /{K_T}]는 신속히 떨어진다. 경계면을 깨트리는 파동이 생기기 전까지 소금이 거의 이동되지 않는 반면, 전도에 의해 열은 이동될 수 있다. [eqn: R_rho]가 증가하면서 깨지려는 경향이 감소한다.[eqn: R_rho]가 매우 큰 값을 가질 때, [eqn: {K_S} /{K_T}]는 천천히 감소한다. 그리고 안정도가 증가한다. 가장 안정되었을 때 [eqn: {K_S} /{K_T}]의 비는 [eqn: { k_S}/ {k_T }]의 비에 접근하고 이 값은 대략 [eqn: 1.5 TIMES {10 }^{-2 }]이다. 소금이 이동되면서 생기는 윗층의 포텐셜 에너지 변화 대 같은 시간 동안 열이 전달됨에 따라 생기는 윗층의 포텐셜 에너지 변화의 비,[eqn: {beta Fs}/ {alpha H}]가 증가하면서 [eqn: R_rho]가 급속히 떨어지며, [eqn: R_rho]가 2이상일 때, [eqn: {beta Fs}/ {alpha H}] ≒ 0.15 로 일정하다. 이 결과는 물리적으로 계가 매우 안정할 때, 열에 의한 포텐셜 에너지의 일정 분율이 소금을 이동시키는 데에 이용된다는 것을 의미한다.

0.8%의 소금물에 Methylene Blue를 소량 넣어 만든 용액과 증류수로 층을 만든 후 바닥을 가열하면서 시간에 따른 두 층의 온도와 농도를 측정하고, 밀도를 계산한 결과는 각각 Fig.1, Fig.2, Fig.3와 같다.

참고문헌

1. Turner, J. S. "The Coupled Turbulent Transports of Salt and Heat across    a Sharp Density Interface", Int. J. Heat Mass Transfer, 8, 759(1965)

2. Crapper, P. F. "Measurements Across a Diffusive Interface", Deep-Sea        Research, 22, 537(1975)

3. Turner, J. S. "Salt Fingers across a Density interface", Deep-Sea         Research, 14,599(1967)

Fig.1 Temperature vs. Time

Fig. Concentration vs. Time

Fig.  Density vs. Time