비선형 ARMA 모델을 이용한 연속식 PS 중합 반응계의 식별

나상섭, 오창근, 이현구

서울대학교 화학공학과

Identification of Continuous Styrene Polymerization Reactor System

Using nonlinear ARMA model

Sang  Seop Na, Chang-Keun Oh and Hyun-Ku Rhee

Dept. of Chemical Engineering, Seoul National University

서 론

중합 반응계는 복잡한 반응기구와 본질적인 비선형성 때문에 선형 모델에 기초를 둔 제어기로는 만족스러운 결과를 얻기 어렵다. 이런 이유로 최근 비선형 모델에 근거한 제어 알고리즘이 연구되고 있지만 많은 수의 파라메터와 복잡한 구조로 인하여 개발에 많은 어려움이 따르고 있다. 이러한 점에서 입·출력 모델들은 구현하기 용이하다는 잇점이 있어 최근 많이 연구되고 있는데 그 중에서도 비선형 ARMA 모델은 공정 입·출력 자료를 이용하여 모델 파라메터를 쉽게 구할 수 있어 중합 반응계의 식별이 용이하다는 장점을 갖고 있다.

본 연구에서는 연속식 PS 중합반응계의 수학적 모델식들을 구하고, 이로부터  자켓 온도와 반응기 온도가 각각 입력과 출력이 되는 비선형 ARMA 모델을 구성하였다. 그리고 이 모델이 실제 반응계의 동특성을 잘 표현하고 있는지 정상상태 해석을 통하여 검토하였으며 특히 불안정한 정상상태의 예측능력에 초점을 맞추어 검증하였다.

반응기구와 모델식

[eqn: 개시반응 ~:~ I ~buildrel rarrow { k_d }~ 2 varphi CDOT ~~~~~~~~# varphi CDOT ~ + ~ M ~ buildrel rarrow {k_i} ~R_1 CDOT]

[eqn: 성장반응~ :~ R_1 CDOT ~+~ M ~ buildrel rarrow { k_p} ~ R_2 CDOT ~~~# R_j CDOT ~+~ M ~ buildrel rarrow { k_p } ~ R_j+1 CDOT ~]

[eqn: 종결반응 ~:~ R_i CDOT ~+~ R_j CDOT ~ buildrel rarrow {k_tc } ~ P_i+j ~ (조합)]

[eqn: 연쇄이동반응 ~:~ R_i CDOT ~+~ M ~ buildrel rarrow {k_trm }~ P_i ~+~ R_1 CDOT # R_i CDOT ~+~ S ~ buildrel rarrow {k_trs } ~ P_i ~+~ S CDOT ~~]

이와 같이 고분자 중합 반응 메카니즘은 개시반응, 성장반응, 종결반응 및 연쇄이동반응으로 구성되며, styrene 중합 반응의 경우에는 결합에 의한 종결 반응만이 존재한다. 이를 바탕으로 연속식 중합 반응기내의 개시제, 단량체 및 용매에 대한 물질수지식, 활성고분자 농도와 비활성고분자 농도 각각의 0차, 1차 및 2차 모멘트에 대한 수지식, 그리고 에너지 수지식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

[eqn: d(IV) over dt ~=~ I_f q_f - I q + (-k_d ) IV~ ,~~~~~~~~` d(SV) over dt ~=~ S_f q_f - S q +(-k_trs S G_0 ) V` # d(MV) over dt ~=~ M_f q_f - M q + left { -2k_d I -(k_p + k_trm ) MG_0 right } V`~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]

[eqn: { d ( G_0 V ) } over dt &=~ -qG_0 + ( 2`f``k_d `I - k_tc `G_0 ^2 )V # { d ( G_1 V ) } over dt &=~ -qG_1 + left { 2`f`k_d`I + k_p`MG_0` -k_tc`G_0 G_1 + (k_trm M + k_trs S)(G_0 - G_1 ) right } V# { d (G_2 V) } over dt &=~ -qG_2 + left { 2`f``k_d `I + k_p M ( G sub 0 + 2 G sub 1 ) - k_tc G sub 0 G sub 2 + ( k_trm M + k_trs S)(G sub 0 - G sub 2 ) right } V`]

[eqn: { d (F_0 V ) } over dt &=~ -qF_0 + left { 0.5 k_tc G sub 0 ^2 + (k_trm M + k_trs S ) G sub 0 RIGHT }V # { d (F_1 V ) } over dt &=~ -qF_1 + left { k_tc G_0 G_1 + ( k_trm M + k_trs S ) G_1 right } V # { d (F_2 V ) } over dt &=~ -qF_2 + left { k_tc ( G_0 G_2 + G_1 ^2 ) + (k_trm M + k_trs S ) G_2 right } V`]                       (1)

[eqn: {d ( ( rho C_p ) _m V T )} over dt ~=~ ( rho C_p )_m q_f T_f - (rho C_p )_m q T + ( - Delta H_p ) k_p M G_0 V - UA ( T - T_j )]         (2)

여기서 G0, G1, 및 G2는 각각 활성 고분자 농도의 0차, 1차, 및 2차 모멘트, F0, F1, 및 F2는 각각 비활성 고분자 농도의 0차, 1차, 및 2차 모멘트이고, □Hp는 성장반응의 반응열, U는 총괄 열전달 계수, A는 열전달 면적을 나타내며, qf는 공급물의 유량, q는 배출물의 유량을 의미한다.

본 연구에서는 젤 효과를 고려하기 위해 Kim(1991)이 사용한 다음과 같은 종결 반응의 속도상수식을 사용하였다[1].

[eqn: g(X,T ) ≡ k_t over k_{t`` 0} = exp [ -2(Ax+Bx^2 + Cx^3 ) ] ~,~~~ x=X(1-f_s )]                      (3)여기서 X는 단량체의 전환율, x는 분율이 fs인 용매가 존재할 때의 단량체 전환율을 나타낸다.

본 연구에서 사용한 속도상수들은 문헌에 보고된 값들을 등온실험을 통하여 검증한 뒤 사용하였으며 그 값들은 다음과 같다.

Table 1. Parameter values for rate constants

rate constant	freqency factor	activation energy(cal/mol)
kd(l/s)	5.95×[eqn: 10^13`]	29,600
kp(l/mols)	3.06×[eqn: 10^8`]	7,068
kto(l/mols)	1.255×[eqn: 10^9`]	1,680
ktrs(l/mols)	3.148×[eqn: 10^9`]	16,264
ktrm(l/mols)	1.186×[eqn: 10^7`]	11,767

비선형 모델의 구조

현재까지 제안된 비선형 입·출력 모델로는 Volterra series 모델, Hammerstein 또는 Wiener 모델, bilinear 모델, 신경 회로망 등이 있으며, 본 연구에 사용된 비선형 ARMA 모델도 이러한 비선형 입·출력 모델들 중 하나이다. 비선형 ARMA 모델은 처음에 Korenberg 등(1988)에 의해서 다항식 형태의 구조가 제안되었지만, 다항식 모델의 단점은 출력이 경계를 벗어나는 경향을 보인다는 것인데, 이러한 단점으로 인하여 Chen 등(1990, 1991)과 Pottman 등(1991)은 각각 신경회로망과 Radial basis function과 같은 모델을 사용하여 출력값의 경계를 보장하려는 연구를 하였다. 본 연구에서는 신경회로망에서와 같이 sigmoid함수를 ARMA 모델에 적용하여 출력의 경계를 보장하였다[3].

[eqn: y(k+1) = sigma LEFT { p_n [ y(k), ..., y(k-n_y ), u(k - rho + 1), ..., u(k- n_u ) ] RIGHT }]                     (4)    [eqn: sigma (x) = 1 over { 1 + exp(-x) }]

[eqn: p_n (CDOT ) = & theta_0 + SUM from { i=1} to { n_y } theta_1,i `y(k-i ) + SUM from { i=rho } to {n_u } theta_2,i `u(k-i) + SUM from { i=1} to {n_y } SUM from { j=1} to i theta_3,(i,j) y(k-i) y(k-j) # & + SUM from { i=rho} to {n_y } SUM from { j=rho} to i theta_4,(i,j) u(k-i) u(k-j) + SUM from { i=1} to {n_y } SUM from { j=rho } to { n_u } theta_5,(i,j) y(k-i) u(k-j) + ...]          (5)여기서 ny는 출력의 차수, nu는 입력의 차수, □는 입·출력간의 시간 지연이다.그리고 (4)의 양변에 sigmoid 함수의 역함수를 취하면, □들에 대해서 선형적인 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

[eqn: y^tr`(k) = ln [ {y(k+1)} over { 1-y(k+1)} ] = p_n [ y(k), ..., y(k-n_y ), u(k - rho + 1), ..., u(k- n_u ) ]]          (6)

이 식은 파라메터 □에 대해서 선형적이므로 RLS(recursive least squares) 등을 이용하면 □를 쉽게 구할 수 있다.

수치모사

Table 2. Reaction Conditions

efficiency ofinitiator	weight of initiator	fraction of solvent	feed temp.	feed flow rate
0.6	5g/l	0.3	313.15K	20ml

본 연구에서는 Table 2에서 주어진 반응조건을 갖는 (1), (2)의 방정식을 실제 플랜트로 가정하였다. 이 때 입력 u는 무차원화된 자켓의 입구온도( u = (T-323.15)/15 )이며, 출력 y는 무차원화된 반응기의 온도( y = (T-293.15)/100 )이다.

PS 중합반응계의 식별을 위하여 사용한 입·출력 데이터는 Fig. 1과 같다. 입력은 -1과 1 사이의 random signal이며 이에 대한 플랜트와 ARMA 모델의 출력을 비교하였는데 대체로 잘 일치하고 있음을 알 수 있다.

사용된 ARMA 모델의 구조는 식 (5)에서 ny=3, nu=3으로 하여 전개하였으며 이 때에 추정해야할 파라메터는 총 10개이다.

[eqn: y(k+1) = sigma LEFT { p_n [ y(k), ..., y(k-3 ), u(k), ..., u(k- 3 ) ] RIGHT }]                             (7)

[eqn: p_n ( CDOT, CDOT ) =& theta_0 + theta_1 y(k) + theta_2 y^3 (k-3) + theta_3 u(k-1) u(k-3) # & + theta_4 y^2 (k-1) u(k-3) + theta_5 u (k-2) + theta_6 y(k-3) u^2 (k-3) # & + theta_7 u (k-3) + theta_8 y(k) u(k-1) u(k) + theta_9 u(k)]

파라메터들은 RLS방법을 이용해서 추정하였으며, forgetting factor □=0.95로 하여 계산하였다. 계산된 결과는 다음과 같다.

□0 = -2.0991  □1 = 4.2140  □2 = -0.1760  □3 = -0.0013  □4 = -0.0063

□5 = -0.0013  □6 = 0.0038  □7 = -0.0004  □8 =  0.0013  □9 =  0.0479

Table 1의 반응조건에서 입력의 변화에 대한 연속식 PS 중합반응계의 정상상태들을 분기해석법으로 구하여 Fig. 2에 도시하였다. 즉, 위에서 추정된 파라메터들을 이용하여 구성된 ARMA 모델과 플랜트의 정상상태 출력을 비교한 것이다.

연속식 PS중합반응계에는 자켓의 온도가 323.15K(u=0)일 때 하나의 불안정한 정상상태를 포함하여 세 개의 정상상태가 존재함을 알 수 있다. 만일 불안정한 정상상태에서 모델예측제어를 행할 경우 사용할 ARMA모델은 불안정한 정상상태를 잘 예측할 수 있어야 한다. 이를 검증하기 위하여 식 (7)에서 y(k+1) = y(k) = … =y*, u(k) = u(k-1) = … = 0으로 하여 y*를 구하면 0.462를 얻는다. 실제 플랜트의 정상상태값이 0.442이므로 좋은 예측치를 얻었다고 할 수 있다.

Fig. 1. I/O data for the identification of continuous PS polymerization system.	Fig. 2. Comparison of steady-state of identified model.

결 론

본 연구에서는 연속식 PS 중합반응계에 대하여 적절한 수학적 모델식을 제안하고, 이 모델을 실제 플랜트로 가정하여 random signal에 대한 출력을 얻었다. 그리고, 이 자료들로부터 식별된 비선형 ARMA 모델은 플랜트의 출력을 잘 예측하며 정상상태해석을 통하여 불안정한 정상상태까지 비교적 정확하게 예측하고 있음을 알 수 있다. 따라서 본 연구에서 제안된 ARMA 모델은 PS중합반응계를 제어하는 비선형 모델예측제어기의 구현을 위하여 효과적으로 활용될 수 있으리라 기대된다.

감 사

본 연구는 학술진흥재단과 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화 연구센터(ARC)를 통한 한국과학재단 우수연구센터의 연구비지원에 의하여 수행되었으며, 이에 대하여 심심한 감사의 뜻을 표합니다.

참고 문헌

1. Kim, K.-J., Modeling and Control of Continuous Free Radical Polymerization Reactors, Ph. D. Thesis, University of Maryland(1991).

2. Pinto, J. C. and W. H. Ray, "The Dynamic Behavior of Continuous Solution Polymerization Reactors - VII. Experimental Study of a Copolymerization Reactor", Chem. Eng. Sci., 50(4), pp. 715-736(1995).

3. Hern□ndez, E. and Y. Arkun, "Control of Nonlinear Systems Using Polynomial ARMA Models", AIChE J., 39(3), pp. 446-460(1993).

4.  Kortmann, M., and H.Unbehauen, "Structure Detection in the Identification of Nonlinear Systems", Autom. Prod. Infor. Ind., 22, 5(1988).

5. Henson, M. A. and D. E. Seborg, Nonlinear Process Control, Prentice Hall, Inc., pp. 1-4.

6. 나상섭, 노형준, 이현구, □회분식 중합반응계의 시간변이성을 고려한 모델예측제어□, 화학공학의 이론과 응용, 3(1), pp. 177-180(1997).

7. 박명준, 안성모, 이현구, □회분식 MMA/MA 공중합 반응기의 실험연구 : 매개 변수 추정□, 화학공학의 이론과 응용, 3(1), pp. 1481-1484(1997).