품질 제어(Quality Control)와 추적 제어 기능이 통합된

회분식 공정용 모델기반 예측 제어기(modified Batch MPC)

진인식, 이광순, 노형준*, 이현구*, 이재형**

서강대학교 화학공학과, 서울대학교 화학공학과*,

미국 Auburn대학교 화학공학과**

A Batch MPC technique for integrated quality and tracking control

In Shik Chin, Kwang Soon Lee,

Hyung Jun Rho*, Hyun Ku Rhee*, Jay H. Lee**

Dept. of Chemical Engineering, Sogang University

Dept. of Chemical Engineering, Seoul National University*

Dept. of Chemical Engineering, Auburn University, USA**

서 론

회분식 공정에서 최종제품의 품질은 생산된 제품의 부가가치를 결정하는 매우 주요한 인자가 된다. 그러나 일반적으로 회분식 공정의 운전은 조작변수를 통해 의 공정변수의 제어를 하고 있는 상황하에서 이루어지는데 이와 같은 공정변수의 제어가 반드시 품질변수의 제어를 의미한다고는 볼 수 없다. 현재 실시간대로 운전되고 있는 회분식 공정에서 품질변수의 제어를 위해 직접적인 제어가 이루어지고 있는 경우는 상당히 드물고 다만 회분운전 중간에 간간이 품질변수와 상당한 상관관계가 있는 2차 변수를 측정하고 있을 뿐이다. 따라서 공정변수의 추적제어와 함께 최종제품의 품질에 대한 제어가 이루어지는 것이 최종제품의 부가가치를 더욱 높일 수 있는 첩경임은 자명한 일이다.

이를 위해 본 연구에서는 품질 제어 기능이 통합된 modified Batch MPC를 제안하였다. Modified Batch MPC에서는 품질 제어를 위해 Cascade Kalman Filter를 이용하였으며 이를 이용하여 회분 내에서 회분후 최종제품의 품질을 추정, 이를 원하는 품질로 유지시키는 기능이 보강되었다. 또한, 제안된 Modified Batch MPC의 검증을 위해 전산모사를 수행하였다.

이 론

모델 구성

일반적으로 회분식 공정의 입출력 관계식은 다음과 같이 주어질 수 있다.

[eqn: rm y_{itk} ``=``{bary}_{itk} `+` w_{itk} ``=`` NU ``(u_{itk} , d_{itk} ``| it I_{k} rm ) `+`v_{itk}]

(1)

[eqn: rm y_{itk}^{itT} ``=&[it y_k^T (1), y_k^T (2), cdots, `y_k^T (N`) ]# rm u_{itk}^{itT} ``=&[it u_k^T (0), u_k^T (2), cdots, `u_k^T (N-1)]# I_k `는 &k번째~ 회분의~ 조기조건이다.]

여기서[eqn: rm {bary_{itk}}^{itT}` , d_{itk}^{itT} `, w_{itk}^{itT}] 들도 위와 유사하게 정의된다.

비선형 함수 [eqn: NU] 대수적이며 선형 근사가 가능하다고 가정된다.

[eqn: rm {bary}_{itk+1} = rm {bary}_{itk} +G DELTA`u_{itk+1} +D DELTA `d_{itk+1} +rm higher ~order ~term]

(2)

여기서[eqn: rm Delta {u}_{itk+1} &=& {u}_{itk+1}-{u}_{itk} # rm Delta {d}_{itk+1} &=& {d}_{itk+1}-{d}_{itk}] 이다.

만일 원하는 출력 설정치를[eqn: rm {y}_d]라고 하고 다음과 같은 정의를 도입하면,

[eqn: rm{bar{e}}_{itk} &=& {y}_d - {bar{y}}_{itk} # rm {e}_{itk} &=& {y}_d -{y}_{itk} # rm Delta{w}_{itk+1} &=& {D} Delta {d}_{itk+1} + {higher~ order~ terms}]

(3)

다음과 같이 회분지수에 관한 상태 공간 모델을 얻을 수 있다.

[eqn: rm {bar{e}}_{itk+1} &=& {bar{e}}_{itk} - {G} Delta {u}_{itk+1} + Delta {w}_{itk+1}# rm {e}_{itk} &=& {bar{e}}_{itk} + {v}_{itk}]

(4)

또한, 회분식 공정에서 최종제품의 품질과 회분내 state의 궤적간의 관계식은 다음과 같이 주어질 수 있다.

[eqn: rmq_{itk} &=&{it f}_1 (x_{itk} `) # rmx_{itk} &=& {it f}_2 (y_{itk},`` u_{itk} ``|it I_k `)]

(5)

여기서[eqn: rm x_{itk}^{itT} =[it x_k^T (1), x_k^T (2), cdots, `x_k^T (N`) ]] 이다.

주어진 기준궤적부근에서는 다음과 같은 식(1)에 대한 선형화가 가능하다.

[eqn: rm q_{itk+1} `=&A`y_{itk+1}``+``B`u_{itk+1}``+``m_{itk+1}# rm q_{itk} `=&A`y_{itk}``+``B`u_{itk}``+``m_{itk}]

(6)

이때[eqn: rm m_{itk}]은 integrated white noise의 성격을 갖는다고 가정된다. 주어진 회분의 운전자료가 많은 경우, 품질변수와 측정변수 그리고 품질변수와 입력변수간의 상관관계를 나타내는 행렬 A와 B는 data regression을 통해 구할 수 있다.

식(6)에서의 두 식의 차를 구해보면 다음과 같이 된다.

[eqn: rm q_{itk+1}-q_{itk}`=& A`(y_{itk+1}-y_{itk})``+``B`DELTAu_{itk}``+``w_{itk+1}^{q}# rm q_{itk+1}-q_{itk}`=& A`( BMATRIX { {y_{itk+1}^{s}-y_{itk}^{s} }# { y_{itk+1}^{c}-y_{itk}^{c}} } )`` +``B`DELTAu_{itk}``+``w_{itk+1}^{q}]

(7)

[eqn: rm e_{itk}^{s} ``==`` y_{d}^{s} `-`y_{itk}^{s},~ e_{itk} ``==`` y_{d}^{c} `-`y_{itk}^{c}]로 정의한 뒤 [eqn: rm A= BMATRIX { {A^s }& {A^c }` }]로 나누면 윗식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: rm q_{itk+1}-q_{itk}`=& -BMATRIX{{A^s}&{A^c}}`( BMATRIX { {e_{itk+1}^{s}-e_{itk}^{s} }# { e_{itk+1}^{c}-e_{itk}^{c}} } )`` +``B`DELTAu_{itk}``+``w_{itk+1}^{q}# rm q_{itk+1}-q_{itk}`=&-A^s `(e_{itk+1}^{s}-e_{itk}^{s})`` -``A^c `(e_{itk+1}-e_{itk})``+``B`DELTAu_{itk}``+``w_{itk+1}^{q}# rm q_{itk+1}-q_{itk}`=&-A^s `(e_{itk+1}^{s}-e_{itk}^{s})`` +``(A^c G+B)`DELTAu_{itk}``+``w_{itk+1}^{q}# rm q_{itk+1}-q_{itk}`=&-A^s `(e_{itk+1}^{s}-e_{itk}^{s})`` +``F`DELTAu_{itk}``+``w_{itk+1}^{q}]

(8)

이제 [eqn: rm G와 ~F]를 시간에 따른 식(9)과 같이 열 벡터로 쪼개어 나타낸 뒤, [eqn: rm e_{itk+1} = rme_{itk} -it G(0) DELTA u_{k+1} (0) - cdots - it G(N-1) DELTA u_{k+1}(N-1)]이므로 새로운 벡터 [eqn: e_k `(t+1)와 ~itq_k `(t+1)]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: rm G ``=& [it G(0)`` G(1) ``cdots`` G`(N-1)]# rm F ``=& [it F(0)`` F(1) ``cdots`` F`(N-1)]]

(9)

[eqn: rm e_{itk}(itt+1) &=& rme_{itk} (itt) -it G(t) DELTA u_{k} (t)# q_k (t+1) &=& q_k (t) + F(t) DELTA u_{k} (t) -A^{rms} (t) e_{k}^{s}(t)# e_k^s (t+1)&=&e_k^s (t+1)]

(10)

식(10)을 이용하여 [eqn: q_k (t+1)와 ~ e_k^s (t+1)]로 이루어진 상태공간방정식을 구하면

[eqn: BMATRIX{q_k (t+1) #e_k^s (t+1)}&=& BMATRIX{{rmI}&{0}#{-A^{rms}(t)}&{rmI}} BMATRIX{q_k (t) #e_k^s (t)}+BMATRIX{0#F(t)}DELTA u_{k}(t)# e_k^s (t+1)&=&BMATRIX{{rmI}&{0}}BMATRIX{q_k (t) #e_k^s (t)}]

(11)

식(11)을 식(12)으로 주어져있는 Batch MPC의 상태공간모델과 통합하여 하나의 상태공간모델로 나타내면 다음과 같은 식(13)으로 주어진다.

[eqn: rm BMATRIX {{{bar{e}}_{itk} it(t+1)}``#{e_{itk}it(t+1)}} &=& rm BMATRIX {{I}&{0}`#{0}&{I}`} rm BMATRIX {{{bar{e}}_{itk} it(t)}``#{e_{itk} it(t)}} -it BMATRIX {{G(t)}#{G(t)}} DELTA u_k (t) # e_{itk} (t) &=& rm BMATRIX {{0} & {H it(t)}} rm BMATRIX {{{bar{e}}_{itk} it(t)}``#{e_{itk} it(t)}}]

(12)

[eqn: rm z_{itk}`(itt+1) &=& rm BMATRIX {{I}&{0}&{0}&{0}#{0}&{I}&{0}&{0} #{0}&{0}&{I}&{0}#{0}&{0}&{{it-A}^{s}(itt)}&{I}} rm z_{itk}`(itt) -it BMATRIX {{G(t)}#{G(t)}#0#F(t)} DELTA u_k (t)]

[eqn: BMATRIX{e_{itk}(t)&e_{itk}^{s}(t)} &=& rm BMATRIX {{0} & {H it(t)}&{0}&{0}#{0}&{0}&{I}&{0}} rm z_{itk}(t)]

(13)

여기서 [eqn: rm z_{itk} (itt)``==`` {BMATRIX{{rm {bare_{itk}}^{itT}(itt)} &{rme_{itk}(itt)} &{e_{k}^{s}(t)} &{q_{k}(t)}}}^{T}]이다.

식(13)으로 주어진 상태공간방정식 중 측정식은 매 샘플링 시간마다 2차변수도 항상 측정됨을 뜻한다. 그러나 실제 조업현장에서는 2차변수는 공정변수보다 상당히 긴 측정주기를 갖기 때문에 실제 측정식은 다음과 같이 주어져야 한다.

[eqn: BMATRIX{e_{itk}(t)&e_{itk}^{s}(t)} &=& rm BMATRIX {{0} & {H it(t)}&{0}&{0}} rm z_{itk}(t)]

(14)

따라서 기본적으로 측정식이 식(14)으로 주어진 것으로 간주하여 상태추정기를 구성해야 하며 2차변수가 측정될 경우를 생각하여 보조상태추정기를 따로 구성 이를 통합, Cascade Kalman filter 이득을 갖는 형태의 상태추정기를 설계하여야 한다.

예측기

위의 상태 공간 모델로부터 예측기와 Kalman 필터는 다음과 같이 구성된다.

[eqn: {rmz}_{k}(t+1|t)&=&{rmz}_{k}(t`|t) -it BMATRIX {{G(t-1)}#{G(t-1)}#0#F(t)} DELTA u_k (t-1) # {rmz}_{k}(t`|t)&=& {rmz}_{k}(t`|t-1) -K_k it(t) (e_k (t) - rm H it(t) rm e_{itk} it(t`|t-1))]

(15)

식(15)에서의 Kalman 이득은 ???

입력변수의 계산

입력변수 [eqn: DELTA u_k ^m (t)]는 다음과 주어진 목적함수를 최소화시키도록 계산되어진다. 여기서 [eqn: DELTA u_k ^m (t)]은 시간 [eqn: t`]에서부터 [eqn: t`+m-1]번째까지의 입력변수들로 이루어진 입력 벡터이다.

[eqn: {min} atop {TRIANGLE u_k ^m (t)} {1} over {2} LEFT { rm e_k^T it(t+m vert t) rm Q e_k it(t+m vert t) + it TRIANGLE u_k ^mT (t) rm R it TRIANGLE u_k ^m (t) RIGHT }]

(16)

subject to

[eqn: q_{k}^{T}(t+m`|t) {rm W_q }q_{k}(t+m`|t) &<= &T_{max}^{2},# vdots~~~~~ vdots&& vdots]

식(16)에서와 같은 제약조건을 통해 [eqn: DELTA u_k ^m (t)]는 이 제약조건을 만족시키는 동시에 목적함수의 값을 최소화시키는 값으로 계산되어지며 계산된 [eqn: DELTA u_k ^m (t)]중 첫 번째 항만이 공정에 적용된다.

그림 . Block diagram of Cascade Kalman filter

결 론

본 연구를 통해서 회분식 공정에 의한 제품의 부가가치를 결정짓는 최종제품의 품질을 실시간대로 제어하는 제어기법을 제안하였다. 제안된 품질 제어 기능이 통합된 회분식 공정용 모델기반 예측 제어기는 실시간대로 측정되는 공정변수를 제어할 수 있을 뿐 아니라 보다 긴 측정주기를 갖는 2차변수를 이용하여 이를 최종제품의 품질을 원하는 값으로 유지시키는 제어기이다. 제안된 제어기는 전산모사를 통하여 그 성능을 확인하였으며 실제 조업현장에 적용될 가능성을 많이 갖고있는 제어기로서 실제 조업현장에 적용될 경우 최종제품의 품질 제어 측면에 상당한 기여를 할 수 있을 것으로 예상된다.

감사의 글

본 연구는 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화 연구센터를 통한 한국과학재단의 우수연구센터 지원금 및 1997년 서강대학교 교내 연구비 지원에 의한 것입니다.

참고 문헌

1. 이 광순, 김원철, 이재형, "선형 회분식 공정을 위한 이차 성능 지수에 의한 모델 기반 반복 학습 제어", 제어 자동화 시스템 논문지, 2권, 3호, pp. 148-157, 1996

2. K. S. Lee, W. C. Kim and Jay H. Lee, "Model based Iterative Learning   Control with Quadratic Criterion for Time-varying Linear Systems",          Submitted to Automatica, 1997

3. K. S. Lee, I. S. Chin and Jay H. Lee, "A Model based Predictive Control for Combined Iterative Learning and Real-times Feedback Control of Batch   Processes", Submitted to IEEE Trans. on Automatic Control, 1997

4. Zheng H. Yu, Wei Li and Jay H. Lee, "State Estimation based Predictive Control Applied to Shell Control Problem: A case study"Chemical Engineering Science, Vol. 49, No. 3, pp.285-301, 1994