시간 지연항을 가진 불안정 공정에 대한 PID 제어기의 설계

이 용호, 이 정석, 박선원

한국과학기술원 화학공학과

PID Controller Synthesis for Open Loop Unstable Processes with Time Delay

Yongho Lee, Jeongseok Lee, Sunwon Park

Dept. of Chem. Eng., KAIST

1. 서론

공정이 불안정 공정이고 외란이 공정의 입력으로 들어간다면 그 공정의 출력은 발산한다. 발열 반응을 가진 화학 반응기는 대표적인 불안정 공정이라고 할수 있다. 그동안 이러한 불안정 공정에 대해서 PID 제어기를 어떻게 설계할 것인가에 대한 연구가 많이 이루어졌다. 하지만 공정 모델이 FODUP (시간 지연항을 가진 일차 불안정 공정)나 SODUP(시간 지연항을 가진 이차 불안정 공정)인 공정모델이 있는 경우에 주로 Phase Margin과 Gain Margin을 이용하는 trial and error 방법인 Graphical Method가 주를 이루고 ISE 및 IAE를 최소화 하는 최적화 튜닝 방법 그리고 시간 지연이 없는 공정에 대해서 모델 변수를 기초로한 analytic 한 튜닝 방법이 제시되었다. 앞에서 말한 Graphical Method는 쉽게 튜닝하기가 어렵고 ISE 및 IAE를 기초로한 튜닝 방법도 상당히 복잡한 식으로 fitting을 하여 잘 맞지 않는다. 이 논문에서는 모델이 FODUP 나 SOPUP 인 경우에 이상적인 제어기를 설계한후에 이를 Maclaurin series로 전개를 하여 쉬운 튜닝룰을 제시하고자 한다.

2. 본론

그림 1에서 고전적인 피드백 다이아그램이 보여지고 있다.

그림 1. 고전적인 피드백 다이아그램.

제어기를 설계할 때 폐루프 전달함수는 다음과 같다.

[eqn: {C}over{R} ={G_c G}over{1+G_c G}]	(1)

[eqn: {C}over{d} = {G}over{1+G_c G}]	(2)

이러한 두 개의 전달함수가 안정성이 보장되도록 제어기 [eqn: G_c]를 설계해야한다.

이것을 IMC 구조로 바꾸어 생각해보면 다음과 같다.

[eqn: {C}over{R} = p q]	(3)

[eqn: {C}over{d} = (1-pq) p]	(4)

여기서 (p = G이고 q는 IMC controller)

여기서 공정 반응이 안정화 되기 위해서 만족 시켜야할 조건은 다음과 같다.

1. q가 stable해야한다.

2. 공정 모델 p가 unstable pole들 [eqn: up_1 ,...,up_n]을 가지고 있을 때 (1-pq)가 [eqn: up_1 ,...,up_n]에서 zero를 갖어야한다.

이 두 조건을 만족 시키면 공정 반응은 안정성을 보여준다(Morari and Zafirou, 1989).

이때 IMC 제어기 [eqn: q = tilde q f] 이고 [eqn: tilde q]는 공정 모델중 minimum phase 부분을 역수 취한것이된다. 이러한 경우에 앞의 두 조건을 만족하도록 filter를 설계해야한다.

다음과 같이 IMC 제어기를 실현가능하도록 하는 [eqn: f_s] 부분과 공정의 불안정성을 상쇄시켜주는 [eqn: f_d~] 부분으로 나누어 생각한다.

[eqn: f(s)=f_s f_d~]	(5)

[eqn: f_s = {1}over{(lambda s+1)}^n]

[eqn: f_d = (SUM from { { i}=0} to m alpha_i s^i +1 )/(lambda s+1)^m]	(6)

여기서 [eqn: alpha_i]는 공정의 불안정한 pole을 cancel하도록 정하여준다.

[eqn: 1-pq vert _{s=up_{i},...,up_n}=0]	(7)

이렇게 해주면

[eqn: {C}over{R} = p q = {P_m^-1}over{(lambda s+1)^n} TIMES {( SUM from { { i}=1} to m alpha_i s^i +1)} over {(lambda s+1)}^m]	(8)

이때 제어기 [eqn: G_c]는 다음과 같다.

[eqn: G_c = {q}over{1-pq}]	(9)

이때 우리가 원하는 것은 표준적인 PID 이므로 식 (9)를 다음과 같이 바꾸어준다.

[eqn: G_c]≡f(s)/s	(10)

Gc를 Maclaurin series로 확장을 하면 다음과 같이 된다.

[eqn: G_c (s) = {1}over{s}(f(0)+f`'(0)s+{f``''(0)}over{2!}s^2 + ... )]	(11)

PID 제어기는 아래와 같으므로 튜닝 값들은 다음식 (13)에 의해서 구할수 있다.

[eqn: G_c (s) = K_c (1+{1}over{tau_I s} +tau_D s)]	(12)

여기에서	(13a)

(13b)

(13c)

예제

공정 모델이 다음과 같다고 하자.

[eqn: G(s)={K e^(-thetas)}over{s-tau}]	(14)

이때 [eqn: f_s = 1/(lambda s+1)],[eqn: f_d = {alpha s+1}over{lambda s+1}]이고 IMC 제어기는 [eqn: q={(alpha s+1) (s-tau)} over{(lambda s+1)}^2]와 같이된다. 이때

[eqn: G_c = { (s-tau)(alpha s+1) }over {K[(lambda s+1)^2 -(alpha s+1)exp(-theta s)]}]               (15)

이식을 Maclaurin series 로 전개를 하면 다음과 같이 얻어진다.

[eqn: K_c = { tau_I }over {K( 2lambda + theta - alpha)}]	(16)

[eqn: tau_I = tau+alpha - {lambda^2 +alpha theta - theta^2 /2 }over{2lambda + theta - alpha}]	(17)

[eqn: tau_D = {tau alpha - {theta^3 /6-alpha theta^2 /2}over {2 lambda + theta - alpha} } over { tau_I} - { lambda^2 + alpha theta - theta^2 /2 }over{2lambda+theta-alpha}]	(18)

와 같이 얻어진다. 여기서

[eqn: 1- {(alpha s+1) e^(-thetas)} over {(lambda s+1)^2} vert_s=tau = 0] 을 이용해서 [eqn: alpha] 값을 구한다.

이러한 제어기를 사용했을 때 설정치 변화에 대한 전달함수는 다음과 같다.

[eqn: {C}over{R} = {(alpha s+1)e^{-theta s}}over {(lambda s+1)^2}]	(19)

따라서 PID 제어기만을 사용하면 폐루프 응답을 식 (19)를 따를수밖에 없고 lead term 인 [eqn: alpha s+1] 의 영향에 의해서 Overshoot이 생길수밖에 없다. 따라서 하나의 방법으로 다음과 같이 제안한다. 설정치에 [eqn: 1/(alpha s+1)]와 같은 filter를 두면 된다. 이렇게 하면 얻어지는 설정치에 대한 폐루프 전달함수는 [eqn: C/R = e^{-theta s} / (lambda s+1)^2] 이다.

공정모사

다음과 같은 공정을 고려해 보자.

[eqn: G(s) = {e^{-0.4s}}over {s-1}]

이 공정에 대해서 제안되어진 방법으로 PID제어기를 설계하였고 이 값들과 기존의 튜닝방법에 의한 값들은 표 1에 나와 있다.

표 1. 모델 [eqn: e^(-0.4s) /(s-1)]에 대한 튜닝값들

Method	[eqn: K_c]	[eqn: tau_I]	[eqn: tau_D]	filter
De Paor and O'Malley	1.459	2.667	0.250
Rotstein and Lewin	2.250	5.760	0.2
Proposed	2.634	2.52	0.2541
Proposed(with Filter)	2.634	2.52	0.2541	1/(2.356s+1)

그림 1,2에는 기존의 튜닝 방법과 제안되어지는 튜닝값들의 설정치에 대한 폐루프 응답과 외란에 대한 폐루프 응답이 각각 주어진다. 그림에서 보여지듯이 제안되어지는 방법중 필터가 없는 경우에 폐루프 응답이 상당한 Overshoot 이 보여지고 filter를 이용한 방법은 다른 방법들에 비해서 뛰어난 성능을 보여준다.

그림 1. 설정치 계단 변화에 대한 폐루프 응답.  그림 2. 외란 계단 변화에 대한 폐루프 응답.

3. 결론

불안정성을 띠는 공정에 대해서 PID를 설계하는 방법이 제시되었다. 다른 방법들은 Graphical Method 들로 Phase Margin 과 Gain Margin등을 이용하는 복잡한 방법인 반면에 공정 모델 매개변수를 기초로하는 analytic 한 아주 간단한 튜닝 방법이다. 설정치 계단 변화에 대한 폐루프 응답과 외란 계단 변화에 대한 폐루프 응답이 매우 좋았다.

감사   본연구는 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화연구센타를 통한 한국과학재단  우수연구센타에서 부분적인 지원금을 받아 이루어진 것입니다.

References

1. Chi-tsung Huang and Yue-Shing Lin, "Tuning PID Controller For Open-Loop Unstable Processes with Time Delay",Chem. Eng. Comm., Vol.133, p11, 1995.

2. Guillermo E. Rotstein and Daniel R. Lewin, "Simple PI and PID Tuning for Open-Loop Unstable Systems", I&ECR, 30, 1864, 1991.

3. Annraoi M. De Paor and Mark O'Malley, "Controllers of Ziegler-Nichols type for unstable process with time delay", Int. J. Control, Vol. 49, No. 4, p1273, 1989.

4. Lee, Y., Lee, M., Park, S., Brosilow, C. "PID Controller Tuning for Desired Closed-Loop Responses for SI/SO Systems", AIChE J, Vol. 44, No.1, 106, 1998.