차수감소 Q-ILC를 이용한 고속 열처리 공정의 온도제어

정영석, 이동욱, 이광순

서강대학교 화학공학과

The Temperature Control of Rapid Thermal Processing using Reduced-order Q-ILC

Young Suk Jung, Dong Uk Lee, Kwang Soon Lee

Dept. of Chemical Engineering Sogang University

서 론

반도체 가공 공정에서 현재까지는 4-8inch 웨이퍼를 주로 사용하여 왔으며 현재의 CVD 공정은 여러 장을 함께 가공하는 공정들이 대부분이다. 이 공정은 웨이퍼 크기가 작기 때문에 웨이퍼상의 온도의 균일도 문제를 심각히 다루지 않았다. 그러나 8-10인치 실리콘 웨이퍼가 생성되면서 웨이퍼의 온도 균일도 향상과 공정동안에 생기는 thermal budget을 없애는 것이 중요한 연구 주제로 떠올랐다. 그러나 현 공정으로서는 웨이퍼 하나 하나의 온도 균일도를 해결할 수 없었기 때문에 80년대 이후 이를 해결하려는 움직임과 함께 빠른 온도 상승과 하강을 할 수 있으며 온도의 균일도를 유지 시킬 수 있는 단일 웨이퍼 가공 공정인 RTP(Rapid Thermal Processing)가 연구되어 왔다.

이 공정의 목적인 빠른 온도 상승과 하강, 온도 균일도를 만족시키기 위해 열원과 웨이퍼간 위치의 최적화와 제어를 위한 모델링 그리고 제어가 스탠포드외 여러대학에서 4inch 웨이퍼에 대해 이루어 졌고 Applied Material 등 여러 회사들이 상업화를 하였다. 그러나 운전의 반복적이 성격을 가지고 있는 데도 불구하고 대부분의 제어연구가 기존의 연속공정 제어기법을 응용/개량하는 방향으로 이루어졌으며 웨이퍼 가장자리의 온도 불균일이 아직 완전히 해결되지 않았다.

본 연구에서는 이와 같은 문제점에 대한 검토를 위해 8inch 웨이퍼에 대한 모델링과 고속 열처리 공정의 반복적인 운전특성을 고려하여 본 연구실에서 개발한 회분식 공정용 제어 기법인 차수 감소 Q-ILC를 적용하고 웨이퍼의 전표면 온도의 균일도 향상과 설정 궤적에 대한 추적 제어를 수행하여 제시한 제어기의 견실성을 검토하고자 하였다.

고속열처리 공정기 모델

열처리 공정의 개략적인 모형은 [그림 1.]과 같다. 열전달 모델은 원통형 좌표계를 통해 표현되고 편미분에 의해 다음과 같이 표현한다.

그림  Schematic of RTP system

[eqn: { 1} over { r} LEFT ( k_w r { PARTIAL T} over { PARTIAL r } RIGHT ) + { 1} over { r^2 } LEFT ( k_w { PARTIAL T} over { PARTIAL theta } RIGHT ) # +{ PARTIAL } over { PARTIAL z } LEFT (k_w { PARTIAL T} over { PARTIAL z } RIGHT )= rho_w C_p { PARTIAL T} over { PARTIAL t }]

()

여기서 kw는 열전도, □w는 웨이퍼의 밀도, Cp  는 웨이퍼의 비열이다. 경계조건은 웨이퍼의 위면, 아랫면 그리고 옆면의 복사열전달과 대류열전달항으로 표현된다.

위의 편미분모델을 상미분모델로 근사하면 다음과 같다.

[eqn: { {{dT}_i } over {dt } } = { q_i } over {m_i C_p T_i }]

()

여기서 i는 각 웨이퍼의 동심원 영역을 의미하고 qi는 각 영역의 전체 순열류를 나타내며 5항의 합으로 다음과 같이 표현한다.

[eqn: q_i = {q_i}^em +{q_i}^ab +{q_i}^cond +{q_i}^conv +{q_i}^dist]

()

각 항에 대해 살펴보면 다음과 같다.

[eqn: {q_i}^em = - epsilon _i sigma A_i {T_i}^4]

()

식(4)는 각 영역의 방사열를 나타내며 여기에서 □i는 각 영역의 방사율이고 □는 스테판 볼츠만 상수를 나타낸다.

[eqn: {q_i }^ab = SUM from { { j}=1} to {J}L_ij P_j + SUM from { { i^' }=1} to {I}W_i,i^' q_i ^em +q_i ^wall]

()

식(5)는 각 영역의 흡수열를 나타내며 Lij는 램프영역에서 웨이퍼 영역으로의 view factor를 나타내며 Wi,i'는 웨이퍼의 각영역에서 다른 영역으로의 view factor를 나타낸다.

[eqn: q_i ^cond = -k_i A_i { PARTIAL T_i } over { PARTIAL r }]

()

식(6)은 각 영역의 전도에 의한 열를 의미한다.

[eqn: q_i ^conv = -h_i A_i (T_i -T_gas )]

()

식(7)은 각 영역의 대류열를 의미한다.

공정 인식

Subspace 인식방법을 통해 식(8)과 같은 최적의 상태공간 모델을 구하고  식(9)과 같이 Q-ILC에서 사용하는 펄스 응답 모델을 유추해 낸다.

[eqn: rm x_k+1 =Ax_k +Bu_k ~~~~~~~~~~~~~~~~##rm y_k =Cx_k ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~##여기서~~rm x IN R^p ,~~u IN R^m ,~~y IN R^n~~~~~~~~]

()

[eqn: rm G=BMATRIX {{G_11 }&{G_12 }& {G_13}#{G_21 }&{G_22 }& {G_23}#{ DOTSVERT }&{ DOTSVERT }& { DOTSVERT }#{G_201 }&{G_202 } &{G_203}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~##여기서~ rm G_mn = BMATRIX {{CB_m,n }& {0}& {DOTSLOW} &{0}# {CAB_m,n }&{CB_m,n }&{0}&{ DOTSVERT }#{ DOTSVERT }&{ DOTSVERT }&{ DDOTS }&{0}#{CA^N-1 B_m,n }&{CA^N-2 B_m,n }&{ CDOTS }&{CB_m,n } }]

()

차수 감소 Q-ILC

N회의 샘플링으로 구성된 회분 조업시간에서 입력변수가 nu 개이고 출력변수가  ny개인 회분식 공정을 고려 할 때 입력변수와 출력 변수간의 다음과 같이 표현할 수 있다.

[eqn: rm {bar {y}}_k =Gu_k +d_k##rm y_k ={bar {y}}_k +v_k]

()

여기서,

[eqn: rm {bar {y}}^T =[{bar {y}}^T (1)~{bar {y}}^T (2) ~DOTSLOW ~ {bar {y}}^T (N)]##rm u^T =[u^T (0)~ u^T (1) ~DOTSLOW ~ u^T (N-1)]~##rm d^T =[d^T (1)~ d^T (2) ~DOTSLOW ~ d^T (N)]~~~~~]

()

그리고 v는 y와 같이 정의한다. 위에서 d는 회분시간동안 상관된 외란(correlated)이고 v는 회분시간동안 상관되지않은(uncorrelated) 외란을 나타내며 G는 아래삼각행렬로 각 요소는 펄스 응답 상수 행렬을 나타낸다.

yd를 출력 설정치 궤적이라고 하면 k 회분에서의 제어 오차는 다음과 같이 정의한다.[eqn: rm {bar {e}}_k =y_d~ -{bar {y}}_k##rm e_k =y_d~ - ~y_k~]

()

그리고 입력 변화량과 외란의 변화량은 다음과 같다.

[eqn: rm DELTA u_k+1 =u_k+1 -u_k~~##rm w_k+1 = -d_k+1 +d_k]

()

그 때 k+1과 k번째 회분 조업간의 제어 오차 관계는 다음과 같은 관계식을 갖는다. [eqn: rm {bar {e}}_k+1 ={bar {e}}_k -G DELTAu_k+1 -u_k##rm e_k ={bar {e}}_k +v_k~~~~~~~~~~~~~]

()

입력 변화량은 다음과 같은 특이치 분해를 통해 재설계한다.

[eqn: rm Q^{ { 1} over { 2} } G = BMATRIX { { U_1 }& {U_2 }} BMATRIX {{SIGMA_1 }& {0}#{0} & {0} } BMATRIX {{V_1 ^T }#{V_2 ^T }}]

()

[eqn: rm B=V_1 ^T, ~~DELTA u_k =B DELTA u_k ^*]

여기서 U와 V는 수직 기초 벡터이고 □는 특이치를 나타내며 Q는 출력값의 가중치 행렬을 나타낸다. 그리고 입력변화량의 차수 감소식은 [eqn: rm DELTA u_k ^*]로 표현한다.

Q-ILC의 목적은 위의 제어오차를 줄이는 위해 재설계된 입력 변화량을 찾는 것으로 다음과 같은 목적함수를 푼다.

[eqn: rm { min} atop { DELTA u_k+1 } { 1} over { 2} LEFT { e_k+1 ^T Q e_k+1 + DELTA u_k+1 ^*T B^T RB DELTA u_k+1 ^* RIGHT }]

()

subject to constraints

모사

모사를 위한 사양은 다음과 같다.

(1)램프의 최대전력은 2KW, 10KW, 35KW

(2)웨이퍼의 크기는 8inch, 방사율은 0.6

(3)웨이퍼 표면을 40개의 동심원 영역으로 분할

(4)반응기의 반경은 260mm, 높이는 150mm

1. 공정 인식

물리적 모델을 실 공정으로 간주하고 subspace 인식방법을 통해 상태공간 모     델을 구한후 차수 감소 Q-ILC에 알맞는 모델을 재구성하였다.

2. 차수 감소 Q-ILC 적용

식(15)처럼 모델을 특이치 분해하여 수직 기초 벡터를 구하고 출력 설정치      궤적에 맞추어 제어를 행하였다.

결 론

본 연구에서는  고속 열처리 공정과정에서 8inch 웨이퍼의 온도 균일성과 기준 궤적의 추적제어를 차수 감소 Q-ILC를 이용하여 모사실험을 행하였고 이를 검토해 본 결과 고속 열처리 공정의 선형모델근사에의한 모델오차에도 불구하고 강인한 제어 성능을 보임을 알 수 있었고 입력항의 차수 감소로 인한 회분과 회분간의 시간 단축을 볼수 있었다.

감사의 글

본 연구는 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화 연구센터를 통한 한국과학재단의 우수연구센터 지원금에 의한 것입니다.

참고 문헌

1.Won Cheol Kim, In Shin Chin and Kwang Soon Lee, "Analysis and           Reduced-Order Design of Quadratic Criterion-based Iterative Learning

Control using Singular Value Decomposition", submitted to Computers and

Chemical Engineering, 1998

2.C.D. Schapter, Y. M. Cho and Kailath, "Low-order Modeling and Dynamic

Characerization of Rapid Thermal Processing", Appl. Phys. A. 54, 317-326,

1992

3.Norman S. A., S. P. Boyd, "Multivariable feedback controller of

semiconductor wafer temperature", Proc. Amer. Control. Conf., 811, 1992