3차원 챔버에서 Standard k-□과 RNG k-□모델의 온도 분포 모사

이석용, 한현각

순천향대학교 화학공학과

Simulation of Temperature Distribution Using

Standard k-□ and RNG k-□Model in 3-Dimensional Chamber

Sukyong Lee , Hyunkak Han

Department of Chemical Engineering , University of Soonchunhwang

서론

챔버내에서의 유체에 관한 흐름과 분포는 많은 연구자들에 의하여 연구되어 왔다. 그 유체가 물이 아닌 공기이고 또한 열의 전도가 아니라 대류가 일어나는 챔버에서 유체의 흐름과 온도 분포에 관한 연구 자료는 매우 희박하였다. 유체의 흐름이 열전달에 있어 가장 중요한 요소로 작용하고 있으므로, 챔버내에서의 공간적 유체의 흐름을 알게 되면, 열에 대한 전달 및 분포 또한 쉽게 알아 볼수 있다. 본 연구에서는 난류 모델을 사용하므로서 실제 챔버의 유체 변화를 최대한 가깝게 모사하였고, 각 모델에 대한 열전달 및 그때의 온도 변화에 대하여 연구하였다. 난류 모델로는 Standard k-□과 RNG k-□을 사용하였으며, 유체 및 온도에 대한 모사 프로그램은 Fluent Code를 사용하여 챔버의 3차원적 분포를 비교 연구하였다.

이론

Fluent code에서 온도 분포와 유속 계산에 사용되는 주된 방정식 중

· Navier-Stokes 식

·연속체 방정식

[eqn: rm { {PARTIAL rho} over {PARTIAL t}} + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} } (rho u_i ) = S_m]                                           (1)

2D 축대칭에서는 다음과 같이 쓸수 있다.

[eqn: rm {PARTIAL rho} over {PARTIAL t} + {PARTIAL over {PARTIAL x} {(rho mu)} + {PARTIAL over {PARTIAL gamma} (rho upsilon)}} + {rho upsilon} over gamma =S_m]                                    (2)

·모멘트 방정식

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho mu_ i ) } + {PARTIAL over {PARTIAL x_i }(rho mu_i mu_j ) } = - {PARTIAL p} over {PARTIAL x_i} + {PARTIAL gamma _ij} over {PARTIAL x_j} + rho g_i + F_i]                 (3)

이때

[eqn: rm tau_ij = LEFT [ mu LEFT ({PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_j} + {PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_i} RIGHT ) RIGHT ] - 2 over 3 mu {PARTIAL u_l} over {PARTIAL x_l} delta_ij]                                (4)

(3)식을 축방향과 반지름 방향으로 풀면

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho mu)} + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL x} (gamma rho u u ) } + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma } (gamma rho upsilon u)}~~~~ # rm = rm - {PARTIAL p} over {PARTIAL x} + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL x}} LEFT [ gamma mu LEFT ( 2 {{PARTIAL u} over {PARTIAL x}} rm - 2 over 3 ( TRIANGLED CDOT {->} atop {v} ) RIGHT ) RIGHT ] # rm + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma}} LEFT [ gamma mu LEFT ( {PARTIAL u} over {PARTIAL gamma} + {PARTIAL v} over {PARTIAL x} RIGHT ) RIGHT ] + F _x ~~~~~~~~~~~~]                     (5)

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho v)} + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL x} (gamma rho u v) } + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma} (gamma rho v v )} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ # rm = - {{PARTIAL p} over {PARTIAL gamma}} + 1 over gamma LEFT [ gamma mu LEFT ({PARTIAL v} over {PARTIAL x} + {PARTIAL u} over {PARTIAL gamma} RIGHT ) RIGHT ] rm + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma} LEFT [ gamma mu LEFT ( 2 {PARTIAL v} over {PARTIAL gamma} - 2 over 3 { (TRIANGLED CDOT { ->} atop {v }) }} RIGHT ) RIGHT ] # rm - 2 mu v over gamma^2 + 2 over 3 mu over gamma (TRIANGLED CDOT { ->} atop {v })+ rho w^2 over gamma + F_gamma~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~] (6)

여기에서

[eqn: rm TRIANGLED CDOT { ->} atop {v } = {PARTIAL u} over {PARTIAL x} + {PARTIAL v} over {PARTIAL gamma} + v over gamma]                                                         (7)

w 는 swirl velocity이다.

·에너지 수지식을 현열 엔탈피 h로 나타내면

[eqn: rm { PARTIAL over {PARTIAL t} (rho h) } + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} (rho u_i h)} = {PARTIAL over {PARTIAL x_i} ( kappa + kappa_t ) {PARTIAL T} over {PARTIAL x_i} - {PARTIAL over {PARTIAL x_i}} SUM from {j'} h_j' J_j'} # rm + Dp over Dt + (gamma_ik )_eff {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_kappa } + S_h ~~~~~~~]                            (8)

여기에서

[eqn: rm h= SUM from { j' } m_j' h_j']                                                                  (9)

[eqn: rm h_j' = INT _{ Tref}^{T } C_p,j' ~ dT]                                                  (10)

·난류모델

난류를 나타내는 속도식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

[eqn: rm u= overline u_i +u_i ']                                                            (11)

여기에서 [eqn: rm overline {u_i }]는 평균치이고 [eqn: rm u_i ']는 fluctuation 값이다.

식(11)을 (1)식과 (3)에 대입하여 풀어서 정리하면 다음 식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm {PARTIAL rho} over {PARTIAL t} + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} (rho u_i )}=0]                                                    (12)

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho u_i )}+{PARTIAL over {PARTIAL x_j} (rho u_i u_j )} = LEFT [ mu LEFT ( {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_j} +{PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_j} RIGHT )- LEFT ( 2 over 3 mu {PARTIAL u_l} over {PARTIAL x_l} RIGHT ) RIGHT ]# rm - {PARTIAL p} over {PARTIAL x_i} +{PARTIAL over {PARTIAL x_j} (-rho {---} atop {u_i ' u_j ' }) }]            (13)

(13)식에서 Reynolds stress는 Boussinesq 가정을 사용하면

[eqn: rm - rho overline {u_i ' u_j ' } = mu_t LEFT ( {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_j} + {PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_i} RIGHT )- 2 over 3 LEFT ( rho kappa + mu_t {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_i} RIGHT ) delta_ij]                (14)

여기에서 Gh는 turbulent stress에 의한 k의 생성항

[eqn: rm G_k = - rho { ---} atop {u_i ' u_j ' } {PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_i}]                                               (15)

Gb는 부력에 의한 k의 생성항

[eqn: rm G_b = beta g_i mu_t over P_gammat {PARTIAL T} over {PARTIAL x_i}]                                               (16)

Prt 온도에 대한 turbulent Prandtl number이며 □는 themal expansion 계수이다.

[eqn: rm beta = - 1 over rho LEFT ( {PARTIAL rho} over {PARTIAL T} RIGHT ) _P]                                                       (17)

·Standard k-□난류 모델에 대한 열전달식

[eqn: rm { PARTIAL over {PARTIAL t} (rho h) } + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} (rho u_i h)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ # rm = {PARTIAL over {PARTIAL x_i} LEFT [ ( kappa + {mu_t} over {P gamma_t}) {PARTIAL T} over {PARTIAL x_i} RIGHT ] } + Dp over Dt + (gamma_ik )_eff {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_kappa } + S_h]                  (18)

·RNG k-□ 난류 모델에 대한 열전달식

[eqn: rm partial over {partial t} (rho E) + partial over {partial x_i} (rho u_i H) = partial over {partial x_i} left ( alpha mu_eff {partial T} over {partial x_i} + u_j (tau_ij )_eff right ) +S_h]              (19)

결과 및 토론

Fig 1은 Standard k-□ 모델을 사용한 모사 그림으로 유체가 가동 후 10분 뒤의 챔버의 온도 분포를 나타내는 그림이다. 유체는 정상상태에 이룬 상태로, 전체적인 온도는 정상상태에 이루었으나 중심부가 주변보다 온도가 조금 낮게 나타나고 있다. Fig 2는 RNG k-□ 모델을 사용한 모사 그림으로 Fig 1보다는 물리적인 현상이 실제와 잘 일치하고 있으며 정상상태의 온도도 실제와 잘 일치하고 있다.

모사자료

Air	Density	1.225kg/m3
	Cp	1006.43 j/kg-K
	Thermal conductivity	0.0242 w/m-K
	Viscosity	1.7894e-05 kg/m-s
Heater	Heat Transfer Coefficients	h=0.01 + 0.9 v
	Heat Flux	2500 w/m2
	Initial Temp.	220℃(493K)
FAN	rpm	2750

참고문헌

1. Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N.: "Transport Phenomena", John Wiley

& sons (1960).

2. Arpaci, V.S. and Larsen, P.L.: "Convection Heat Transfer", Prentice-Hall Inc.

(1984).

3. "FLUENT USER MANUAL", FLUENT INC. (1996).

Fig . Temperature Distribution at startup after 10min (Use Standard k-□ Model)

Fig . Temperature Distribution at startup after 10min (Use RNG k-□ Model)