Kalman 필터 기반 온라인 2 단계 방법을 이용한 회분식 중합반응기에서의 물성 제어

최선혁, 정붕군, 유기윤, 이현구

서울대학교 응용화학부, 화학공정신기술연구소

Polymer Quality Control in a Batch Polymerization Reactor Using the Kalman Filter based On-line Two-step Method

Son-Hyeok Choi, Boong Goon Jeong, Kee-Youn Yoo and Hyun-Ku Rhee

School of Chemical Engineering and Institute of Chemical Processes

Seoul National University

서  론

분자량과 분자량 분포가 고분자의 기계적, 유변학적 특성에 상당한 영향을 미친다는 것은 널리 알려진 사실이다. 따라서 고분자 중합 반응기에서의 정교한 분자량 분포 제어가 요구되므로 본 연구에서는 회분식 중합 반응기에서 특정한 전환율에 도달했을 때 원하는 분자량 분포를 갖는 고분자 물질을 생산하는 제어기법에 대하여 연구를 수행하였다.

본 연구에서는 원하는 물성을 갖는 고분자를 생산하기 위한 반응기 운전조건, 즉 온도궤도를 구하기 위하여 2 단계 방법을 사용하였다. 1단계로는 원하는 분자량 분포를 얻기 위하여 요구되는 순간 수평균 중합도의 궤도를 고분자 총 농도의 함수로 구하고, 2 단계로는 반응기 모델식에 의한 순간 수평균 중합도가 위에서 구한 값을 추적하도록 하는 온도궤도를 구하였다. 그러나 이와 같은 2단계 방법은 모델이 부정확하거나 외란이 있으면 원하는 물성을 갖는 고분자의 생산을 기대할 수 없다. 따라서 이런 문제점들을 해결하기 위하여 일정 시간마다 온도와 점도, 그리고 밀도를 측정하고 Kalman 필터를 사용하여 고분자 농도의 모멘트값을 온라인으로 추정하여 최적화 계산을 다시 수행하도록 하였다. 즉 반응이 진행되는 동안 피드백 되는 정보를 분석하여 온도궤도를 수정함으로써 모델의 부정확성이나 외란의 존재하에서도 원하는 분자량 분포에 도달할 수 있도록 제어를 수행하였다.

고분자 중합 반응

회분식 MMA 자유라디칼 용액중합 반응계를 대상모델로 하였으며, 개시제로 BPO(Benzoyl Peroxide), 용매로 EA(Ethyl acetate)를 사용하였고, 정교한 중합 모델식 전개를 위하여 용매 및 단량체로의 연쇄이동반응과 중합 반응에 수반하는 부피 변화를 모델식에 포함시켰다. 회분식 반응기 안의 개시제, 단량체, 용매, 활성고분자 농도 모멘트, 및 비활성고분자 농도 모멘트에 대한 물질수지식은 다음과 같다[Ahn, 1998]

[eqn: 1 over V {d({I`V})} over dt &=~ -k_d `I`]                         [eqn: 1 over V {d(SV)} over dt &=~ -`k_trs` S`G_0]

[eqn: 1 over V d(MV) over dt &=~ -2`f``k_d `I ~-~ (k_p + k_trm ) `M`G_0]        [eqn: 1 over V {d(G_0 V)} over dt =& 2fk_d I - k_t G_0^2]

[eqn: 1 over V {d(G_1 V)} over dt =& 2fk_dI + k_p MG_0 -k_t G_0 G_1 + (k_trm M + k_trs S)(G_0 -G_1 )] [eqn: 1 over V {d(G_2 V)} over dt =& 2fk_d I +k_p M(G_0 +2G_1 )- k_t G_0 G_2 + (k_trm M +k_trs S)(G_0 -G_2 )][eqn: 1 over V {d(F_0 V)} over dt = &1 over 2 k_t G_0^2 + 1 over 2 k_td G_0^2 + (k_trm M +k_trs S)G_0&]

[eqn: 1 over V {d(F_1 V)} over dt =& k_t G_0 G_1 + (k_trm M + k_trs S)G_1]

[eqn: 1 over V {d(F_2 V)} over dt =& k_tc (G_0 G_2 +G_1^2 ) + k_td G_0 G_2 + (k_trm M + k_trs S)G_2]

Schmidt & Ray [1981]가 제안한 자유부피 관계식에 근거한 상관식을 사용하여 젤 효과를 고려하였으며, 속도 상수는 본 연구실에서 실험 결과로부터 매개변수 추정 기법에 의하여 추정한 결과를 사용하였다[Ahn, 1998].

Two-step Method

전환율, 수평균중합도 및 다분산도는 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: X(t)= { M(0)V(0)-MV} over {M(0)V(0) } ={ H_1 (t)} over M(0)V(0)],  [eqn: Y(t)= { H_1 (t)} over {H_0 (t) }],  [eqn: P(t)= {H_2 (t) H_0 (t) } over { H_1 (t)^2}]          (1)

여기서 Hk, k = 0, 1, 2 는 고분자의 0차, 1차, 2차 모멘트를 의미한다. 식 (1)을 모멘트에 대한 식으로 다시 정리하면 식(2)와 같다.

[eqn: H_0^* = H_1^* /Y^*]  [eqn: H_1 ^* =M(0)V(0) ×X^*]  [eqn: H_2^* =H_1^* Y^* P^*]                               (2)

여기서 위첨자 *는 최종상태에서의 원하는 물성을 의미한다. 결국 특정한 전환율에서 원하는 수평균중합도와 다분산도를 얻는 문제는 최종상태에서 원하는 모멘트 값들을 얻는 문제로 귀착된다.

순간중합도와 순간 다분산도를 식 (3)과 같이 정의하고,

[eqn: y= dH_1 over dH_0]  [eqn: py^2 = dH_2 over dH_0]                                                       (3)

이 식들을 적분하여 무차원군으로 정리하면 식 (4)를 얻을 수 있다.

[eqn: 1= INT _{ 0}^{ 1} LEFT ( y over Y^* RIGHT ) d LEFT ( H_0 over H_ 0 ^* RIGHT )],  [eqn: P^* over p = INT _{ 0}^{ 1} LEFT ( y over Y^* RIGHT )^2 d LEFT ( H_0 over H_ 0 ^* RIGHT )]                        (4)

여기서 p는 중합반응 진행과정에서 거의 일정한 값을 가지므로 상수로 간주하였다.

2 단계 방법의 첫 번째 단계는 순간중합도의 궤도를 H0의 함수로 구하는 것인데, 본 연구에서는 Yoo와 Rhee [1999]가 사용한 2차 다항식을 사용하였다.

[eqn: {y(H_0 )} over Y^* = y(0) over Y^* + a_1 LEFT ( H_0 over H_0 ^* RIGHT ) + a_2 LEFT ( H_0 over H_0 ^* RIGHT )^2]                                            (5)

식 (5)를 식 (4)에 대입하여 상수 a1과 a2를 계산하면 원하는 순간중합도의 궤도를 얻게 된다. 두 번째 단계는 반응기 모델식으로부터 계산되는 순간중합도가 첫 번째 단계에서 구한 값을 추적하도록 하는 온도궤도를 구하는 것이다. 모델식에서 속도상수는 온도만의 함수이므로 온도가 주어지면 모델식들을 수치적으로 계산하여서 순간중합도를 구할 수 있고 이 값이 위의 궤적에 의한 값과 일치하도록 온도를 결정하여 줌으로써 온도궤도를 구하게 된다.

Kalman 필터에 기반한 온라인 2단계 방법

온라인 2 단계 방법은 일정 시간 경과 후 측정값들을 피드백 받아서 그 시점부터 다시 반응기 온도궤도를 생성하는 방법이다. 이 경우 적분식과 목표값은 다음과 같다.

[eqn: 1 = INT _{ 0}^{ 1} LEFT ( y over {{bar Y}^* (t) } RIGHT )d LEFT ( {H_0 -H_0 (t) }over {H_ 0 ^* -H_0 (t) } RIGHT )],  [eqn: {bar P}^* over p = INT _{ 0}^{ 1} LEFT ( y over {{bar Y}^* (t) } RIGHT )^2 d LEFT ( {H_0 -H_0 (t) }over {H_ 0 ^* -H_0 (t) } RIGHT )]           (6)

[eqn: {bar Y}^* = {H_1 -H_1 (t) }over {H_ 0 ^* -H_0 (t) }],  [eqn: {bar P}^* ={ (H_2^* -H_2 (t))(H_0^* -H_0 (t))} over {(H_1^* -H_1 (t))^2 }]                    (7)

Yoo와 Rhee[1999]는 온라인으로 온도만을 피드백 받아서 제어를 수행한 바 있는데 이런 방법으로는 온도 이외의 외란과 모델 부정확성을 적절하게 다루기가 힘들다. Kalman 필터를 통하여 온라인으로 온도와 점도 그리고 밀도를 피드백 받으면, 밀도로부터 전환율을, 점도와 밀도로부터 질량평균분자량을 추정할 수 있다. 그리고 이 값들로부터 고분자 농도의 1차, 2차 모멘트를 알 수 있으므로 반응기 온도궤도를 효과적으로 갱신할 수 있게 된다.

수치모사

본 연구에서는 기존에 연구되어있는 온라인 2 단계 방법, 즉 온도만을 피드백 받아서 최적화하는 방법과 본 연구에서 새롭게 제시한 Kalman 필터에 기반한 온라인 2 단계 방법에 대하여 수치모사를 수행하여 제어성능을 비교하였다. 수치모사의 알고리즘은 다음과 같다.

ⅰ) 목표값 (X*, P*, Y*)으로부터 반응종결시의 0차, 1차, 2차 모멘트 계산

ⅱ) 2차 다항식의 계수 계산

ⅲ) 순간중합도가 2차 다항식에 의한 값과 같게 되는 온도 계산 후 일정 시간 운전

ⅳ) 그 시점에서의 모멘트 값으로부터 2차 다항식의 계수를 다시 계산하여 2차 다항식의 계수보정

ⅴ) 원하는 전환율에 도달할 때까지 ⅲ) 및 ⅳ)의 과정을 반복

본 연구에서는 반응기 모델식이 정확하지 않다고 가정하여 수치모사를 수행하였다. 그 결과 기존의 방법은 제어가 만족스럽게 되지 않았는데 본 연구에서 제시한 방법은 그에 비하여 훨씬 목표값을 잘 맞추는 것을 알 수 있었다. Figure 1.(a)는 온도만 피드백 받아서 온라인으로 제어한 경우의 온도와 수평균 분자량과 다분산도에 대한 그림이다. 수평균 분자량과 다분산도의 목표값이 각각 100,120과 2.7인데 그림을 보면 수평균분자량이 목표값보다 다소 작고 다분산도는 목표값보다 크게 됨을 알 수 있다. (b)는 밀도와 점도까지 피드백 받아서 온라인으로 제어했을 때의 그림이다. 수평균분자량과 다분산도가 모두 목표값에 거의 정확히 도달함을 알 수 있다.

결  론

회분식 MMA 용액중합반응계를 대상으로 원하는 분자량 분포를 갖는 반응기 온도궤도를 구하기 위하여 2 단계 방법을 사용하였다. 여기에 Kalman 필터에 기반한 온라인 기법을 고안하여 온도, 밀도 및 점도의 데이터를 피드백받아서 온라인으로 온도궤도를 구하는 방법을 수행하였다. 이 방법을 기존에 연구되어 있는 온라인 2 단계 방법과 비교하여 수치모사를 수행한 결과 제어성능이 더 향상됨을 확인할 수 있었다.

감  사

본 연구는 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화연구센터를 통한 한국과학재단 우수연구센터 지원금에 의한 것입니다.

(a)                                            (b)

Figure 1. Profiles of the temperature, polydispersity and number average molecular weight obtained by (a) on-line twe-step method and (b) kalman-Filter based on-line two-step method, respectively.

참고 문헌

1. Sung-Mo Ahn, Soon-Cheol Chang, and Hyun-Ku Rhee, J. Appl. Polymer Sci., 69(1), 59(1998).

2. A. D. Schmidt and W. H. Ray, Chem. Eng. Sci., 36, 1401(1981).

3. K.-Y. Yoo, H.-K. Rhee, AIChE J. 45, 1298, (1999).

4. K.-Y. Yoo, B.-G. Jeong, and H.-K Rhee, Ind. Eng. Chem. Res.,

submitted.(1999).