수첨탈알킬 공정에서 관형촉매 반응기의 동적 최적화

이희승, 고대호, 문 일

연세대학교 화학공학과

Dynamic Optimization of Catalytic Tubular Reactor System

in Hydrodealkylation Process

Hi-Sung Rhee, Daeho Ko and  Il Moon

Department of Chemical Engineering, Yonsei University

서론

수첨탈알킬 공정은 BTX 공장을 구성하고 있는 4개의 단위 공정 중 하나로 분리공정(Fractionation Process)에서 나오는 톨루엔과 C9/C10 방향족 성분을 수첨반응 시켜 부가가치가 높은 벤젠으로 전환시키는 공정이다. 이러한 탈알킬 수첨 반응 공정의 생산성 증대를 위한 최적 조업 기술의 실제 적용이 절실히 요구되고 있으나 아직까지 효율적인 운전을 위한 기술의 연구가 이루어지지 못하고 있다.

본 연구에서 대상으로 설정한 공정은 톨루엔의 수첨 반응이 일어나는 관형촉매 반응기 시스템으로 수첨 반응의 결과 발생하는 반응열의 냉각을 위해 반응기 주위를 냉각수가 흐르는 Cooling Jacket이 감싸고 있는 구조이다. 반응기의 동적 모사를 통해 반응기의 동적 거동을 살피고 생산물인 벤젠의 순도를 최대화하고자 이의 동적 최적화를 수행하였다. 결과로 최적의 시운전과 운전전략을 구하였다.

동적 최적화

동적 최적화 문제는 최적 제어의 변수를 구하는 일 이외에도 공정 설계에 관계된 시간과는 무관한, 즉 반응기의 길이 혹은 지름과 같은 공정 파라미터 등을 함께 구할 수 있다는 면에서 최적 제어와는 구분될 수 있다. 분산 매개 공정의 수학적 모델은 식(1)과 같이 편미분 방정식과 비선형 대수식의 조합으로 구성된다.

[eqn: F[x(z,t), x_t (z,t), x_z (z,t), x_zz (z,t), u(t), z, □, t ]=0]             (1)

u는 시간의 함수로 표시되는 제어변수이며 □는 시간과 무관한 설계 파라미터이다. 식(1)과 같은 PDAEs는 여러 방법을 이용해 수치해를 구할 수 있으며, 그 중 Method Of Line(MOL)은 PDAEs를 공간에 대해 이산화를 시킴으로써 DAEs로 변환시킨다.

이와 같은 방법을 통해 주어진 PDAEs는 다음과 같은 DAEs로 전환된다.

[eqn: f[x(t), x(t), y(t), u(t), □, t]=0]	(2)

공간의 이산화를 통하여 DAEs로 변환된 모델식과 초기조건에 더하여 동적 최적화에는 목적함수와 제한조건이 추가로 요구된다. 제한조건의 경우 운전의 전구간에 걸쳐 요구되는 경로 제한조건과[식(3)] 주어진 점에서 요구되는 점 제한조건[식(4)]으로 나뉘어 진다.

[eqn: h[x(t), {dot x}(t), y(t), □,t]□0,~~~□t□[0,□]]	(3)

[eqn: g[t_□ ,{dot x}(t_□ ),y(t_□ ),u(t_□ ),□,t_□ ]□0,~~□=1,2,□]	(4)

대상공정

대상이 되는 공정은 톨루엔을 원료로 수첨 발열반응이 일어나는 관형 촉매 반응기 시스템이다.  발열반응으로 인해 발생하는 반응열을 냉각시키기 위해 반응기 주위를 냉각수가 흐르는 Cooling Jacket이 싸고 있는 구조이다. 주반응은 다음의 수첨 발열 반응이다.

[eqn: C_6 H_5 CH_3 ~~+~~H_2 ~~□~~C_6 H_6 ~~+~~CH_4]

반응기의 수학적인 모델을 위해 다음의 가정을 설정하였다. 공정 변수는 길이 방향 z 와 시간 변화에 대해 특성치가 변화하고 반응기 내의 물성치는 시간과 공간에 대해 무관한 상수로 가정하였다. 또한 반응기 내의 유속은 일정하다. 이러한 가정 하에서 반응기 모델의 수학적 표현은 다음의 식과 같다.

물질수지식

[eqn: □c_i over □t =-{□(□_z c_i )}over □z + □ over □t left(□D_z □c_i over □z right)+□_i □□_b ~~~□z□(0,L)]       (5)

에너지 수지식

[eqn: □ over □t (□_f c_pf T)= -{□ over □t}(□_z □_f c_pf T)+ □ over □z left(k_z □T over □z right)+□_b r(-□H)~□z□(0,L)](6)

경계조건

[eqn: z=0~:~~~~~~~-k_z □T over □z = □_f c_pf □_z (T_fi - T)]	(7)

[eqn: z=L~:~~~~~~~□T over □z =0]	(8)

[eqn: z=0~:~~~~~~~-□D_z □c_i over □z = □_z (c_i,0 - c_i )]	(9)

[eqn: z=L~:~~~~~~~~□c_i over □z = 0]	(10)

반응 속도식

[eqn: -r_"toluene" = kC_"toluene" {C_H_2}^0.5]	(11)

Cooling Jacket

[eqn: □_w V_w c_pw dT_cw over dt = f_w c_pw (T_ci - T_cw )+h_w integral from 0 to L [T(z)-T_cw ]dz]	(12)

위에서와 같이 구성된 Integro-Partial Differential Equations을 MOL(Method Of Line)중 BFDM(Backward Finite Difference Method)을 이용해 공간에 대한 이산화를 수행해 IPDAEs를 DAEs로 변환을 시켰다. 변환된 DAEs를 시간에 대해 적분을 함으로써 수치해를 구하는 과정을 거쳤다.

목적함수 및 제한조건

벤젠의 순도는 공정의 운전조건과 이윤을 결정짓는 주요한 변수이다. 따라서 본 연구에서는 순도에 따른 벤젠의 값과 주입되는 냉각수 비용의 차를 목적함수로 정하고 이를 최대화하는 것을 목적으로 공정의 운전 전략을 수립하였다.

[eqn: Max. □Product_benzene - □Utility~ Cost_cw]

공정의 운전동안 Cooling Jacket 의 냉각수 유량, 냉각수의 주입온도, 원료인 톨루엔의 주입 농도를 제한조건으로 설정해 목적함수를 최대화하였다.

정규화 기법

정규화 기법은 시간에 무관한 파라미터 값을 최적화 하는데 주로 사용이 되는데 만약 반응기의 길이가 L이라고 하면 길이는 정규화된 변수인 [eqn: z^*]로 전환이 된다. 또한 PDEs는 아래의 관계에 의해 새롭게 표현이 된다.

[eqn: z^* □ z over L ,~~~{□ over □z} = {1 over L}{□ over □z^* },~~~{□^2 over □z^2 }= {1 over L^2 }{□^2 over {□{z^*}^2} }]	(13)

결과 및 토론

본 연구는 제어 변수의 최적 profile과 최적 조업 조건을 구하고 그 때의 목적함수의 최대값을 구하는 것을 목적으로 하고 있다. 동적 최적화 이전에 반응기의 동적 거동을 살펴보기 위하여 동적 모사기인 gPROMS를 이용해 모사를 하였고 gPROMS내에 정의되어 있는 gOPT를 이용해 동적 최적화 문제를 풀었다.

벤젠의 순도인 목적함수의 값은 49.9%를 얻었으며 이는 실제 조업값인 42%보다 큰 값을 구할 수 있었다. 또 시간에 무관한 상수인 반응기의 길이는 1.38m를 얻었다. 최적의 원료 주입 농도 분포와 생산물인 벤젠의 시간에 따른 분포의 그래프는 다음 면의 그래프와 같다.

감사

본 연구는 한국과학재단의 지원에 의하여 이루어 졌으며 지원해 주신 재단에 감사드립니다. (98-0502-06-01-3)

참고문헌

1.고대호, 문 일 : 화학공학, 제35권, 제3호, p338-343, 1997. 6.

2.황덕재, 오 민, 문 일 : 화학공학, 제37권, 제2호, p171-177, 1999. 4.

3.장병무, 정일용, 오 민, 문 일 : 화학공학의 이론과 응용, 제3권, 제2호,           p1913-1916, 1997. 10.

4.V. S. Vassiliadis, C. C. Pantelides, R. W. H. Sargent, Ind. Eng. Chem. Res.,    33, p2123, 1994

5.J. M. Douglas, "CONCEPTUAL DESIGN OF CHEMICAL PROCESSES

", McGraw-Hill Book Company, 1988

그림 2 톨루엔의 최적 주입 농도

그림 1 반응기 길이에 따른 벤젠         의 농도 분포

그림 4 초기 정상상태에서의 반         응기내의 온도분포

그림 3 반응기내 길이와 시간에 따          른 벤젠의 농도 분포