이산요소법에 의한 전동볼밀 내의 분쇄매체 운동 해석

--(1) DEM에 의한 시뮬레이션 --

김 성 수, 곽 은 옥, 소 태 섭, 최 희 규, 최 우 식*

*부산대학교 제약학과, 대학원 학과간 분체공학 협동과정

The Simulation of Grinding Media Motion in Tumbling Ball Mill:

(1) Simulation by Distinct Element Method (DEM)

Seong Soo Kim, Eun Ok Kwak, Tae Sup So, Hee Kyu Choi, Woo Sik Choi*

*Depart. of Pharm. Manufact., Interdisciplinary Program in Powder

Technology, Graduate School, Pusan National University

1. 서언

1950년대 후반에 계산물리의 분야에서 분자동역학법이 개발되어, Alder 등이 강제구의 상전이를 발견하여 주목을 받았다1). 이에 따라 분체분야에서는 컴퓨터에 의한 입자의 충전구조의 연구가 시작되었으나2), 당시 컴퓨터 용량 부족으로 더 이상 진전이 없었다가, 1970년대 들어 암반 연구를 하던 Cundall이 이산요소법 (Distinct Element Method, DEM)의 개발3)을 계기로 입자간 상호작용의 설정법을 약간 개량하여 분체 분야에 적용하였다.

본 연구에서는 DEM을 통하여 전동볼밀 내의 볼 운동을 해석하여 볼 운동의 유동패턴, 법선 및 전단 방향의 속도 및 접촉력, 볼 간의 충격에너지 등을 계산하여 미분쇄에 관련한 분쇄기구를 해명하고자 하였다. 밀 내의 볼의 운동을 해석하기 위하여 종래 보고된 충전PEM 프로그램4)을 수정하여 전동볼밀에 적용하는 프로그램을 개발하고, 이를 활용하여 시뮬레이션을 실시한 바 몇 가지 유용한 지견을 얻었기에 이에 보고한다.

2. DEM의 이론

입자는 집합적으로 존재하는 경우가 많은데 그 중 하나의 입자에 주목하면 그 입자의 운동을 지배하는 힘은 그 입자와 접촉하고 있는 주변 입자와의 상호 작용력이다(Fig. 1). 이 상호작용력은 입자간 접촉력으로 입자간 충돌, 마찰력으로 구성되는데 이를 모델화한 Voigt Model을 Fig. 2에 보인다.

질량 m을 가진 2개의 입자가 운동 중 서로 접촉할 때의 상호 작용력은 입자의 병진운동과 회전운동을 고려하여 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: m{{d}^{2} u}over{{d`t}^{2}}+ eta {d u} over{dt} + Ku =0]	(1-1)

[eqn: I{{d}^{2}phi}over{{d`t}^{2}}+ eta r^2 {d phi}over{dt}+Kr^2 phi =0]	(1-2)

여기서 m은 질량, u는 병진변위, [eqn: phi]는 회전변위, K는 탄성계수, □는 점성계수 그리고 I는 관성모멘트이다.

일반적인 분체에서는 하나의 착목입자에 다수의 입자가 접촉하고 있으므로 각각의 접촉점마다 위 식이 성립하며, 실제 계산 시에는 식(1)을 다음과 같이 시간

Fig.  1  Contacted  particles  for

calculation around a given particle

Fig. 2  Voigt model of inter- actived forces between two balls

증분 □t로 차분근사시켜 계산한다.

[eqn: m[ddot u_i ]_t =- eta [dot u_i ]_t-DELTAt -K[u_i ]_t-DELTAt]	(2)

따라서 새로운 가속도는 시각 □t 전의 변위와 가속도로부터 얻어진다. 새로운 시각에서의 가속도를 수치적분하면 시각 t에서의 변위와 가속도가 구해지며 이를 □t만큼씩 계속 반복함으로써 입자의 운동궤적이 구해진다.

3. 전동밀 시뮬레이션을 위한 flow chart 및 프로그램 개요

(1) flow chart:

DEM을 이용한 전동밀 시뮬레이션 프로그램은 먼저 전동밀 내 볼의 초기충전상태의 계산에 전동밀 운전조건에 따른 볼의 운동상태의 계산을 부가하였다. DEM 계산 flow chart를 Fig. 3에 보인다. 본 프로그램은 11개의 부프로그램으로 구성되어 있다.

(2) 프로그램의 개요:

본 프로그램의 주요부분은 다음과 같이 구성되어 있으며, 종래 보고된 기본적인 볼충전 프로그램4)에 경계조건(전동밀 형상-원형)과 전동밀 운동조건 등 초기조건과 장치조간을 고려하여 작성하였다.

ⅰ) 볼과 볼, 볼과 밀벽면과의 접촉판정,

ⅱ) 접촉력의 계산,

ⅲ) 운동방정식의 차분근사3)- 가속도, 속도, 변위,

ⅳ) 탄성계수6), 점성계수 및 시간증분 결정,

ⅴ) 입자 위치 결정

4. 전동밀 시뮬레이션의 결과 및 고찰

(1) 전동밀 조건:

본 시뮬레이션에 사용된 전동밀 및 볼의 제원을 Table 1에 보인다. 2차원 모델 전동밀은 내경이 100 mm, 폭은 사용하는 매체 볼의 크기에 따라 조절할 수 있도록 살계, 제작하였다. 사용한 분쇄매체로는 내마모성 고순도 알루미나 재질의 볼로서 직경이 3 mm와 5 mm을 선택하였다. 그 밖의 시뮬레이션에 필요한 재료의 물성치는 이전의 보고에 사용한 수치를 참고하였다.

Table 1  Dimentions of tumbling ball mill and ball

for simulation and experiments

Mill/Ball	Size (mm)	Matetrial	Friction coefficient(-)	Number	n (r.p.m)
Mill	□100	Alumina	M-to-B: 0.2, 0.5, 0.8, 1.0	-	n = 108
Ball	□5, 10	Almunia	B-to-B : 0.466	150	-

Fig. 3  Flow chart of DEM program

for simulation of tumbling ball mill

(2) 시뮬레이션의 결과 및 고찰

상기 조건의 simulation 결과의 일례를 Fig. 4에 보인다. 각각의 초기조건 및 운전 조건에 따른 볼 운동 양상으로 실제의 볼운동과 유사한 운동 모습을 보여주고 있다. 회전수, 충전율, 마찰계수 등의 인자의 변화에 따라 볼운동 해석이 가능하며 정량적인 판단에도 유용한 정보를 제공하고 있다.

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.20 s

t = 0.25 s

(a) □w = 0.3, n = 108 rpm, J = 40 %

t = 0.00 s

t = 0.10 s

t = 0.20 s

t = 0.30 s

(b) □w = 0.5, n = 108 rpm, J = 40 %,

Number of ball size distribution [eqn: phi~10]:[eqn: phi~5] = 26 : 21

Fig. 4 Typical examples of simulation results

5. 결론

매체형 분쇄기의 분쇄기구 해명에서 가장 중요한 인자는 매체의 운동 해석이라고 생각한다. 현실적으로 실험이 곤란한 매체의 운동해석을 위하여 DEM을 이용한 2차원의 충전프로그램을 참고하여 전동밀의 볼 운동용 프로그램으로 개발하였다.  이를 적용하여 각종 실험인자에 따른 볼 운동 패턴을 실험데이터와 비교한 바, 매체의 운동해석을 비교적 쉽게 시뮬레이션 할 수 있었으며, 종래 실험법으로 찾을 수 없었던 볼의 속도분포, 접촉력 분포 및 충격에너지 분포 등에 대한 지견을 얻을 수 있는 가능성이 밝혀졌으며, 본 프로그램의 초기조건 및 경계조건을 변경함으로써 유성볼밀, 교반볼밀 및 진동볼밀 등 매체형 볼밀 내의 볼의 운동 해석에도 적용될 수 있음을 확인하였다.

참고 문헌

1. Alder, B. J. and Wain, T. F. : J. Chem. Phys., 27, 1208 (1957).

2. Serrano, A. A. and Rodriguez-Ortiz, J. M.: Proc. Symp. Plasticity and

Soil Mech.(1973)

3. Cundall, P. A. and Strack, O.D.L. : Geotechnique, 29, 47 (1979).

4. 粉體工學會編: □粉體□□□□□□□□□入門□, p. 37, 産業圖書 (1998).

5. 木山英郞, □村尙,土木學會論文報告集, 333, 137 (1983).

6. Timoshenko, S. P. and Goodier, J. N.: "Theory of Elasticity", p. 409,

McGraw-Hill (1970).