매체교반형 미분쇄기에 의한 무기분말의 초미분쇄기구와

분쇄장 표면개질에 관한 연구

---(3) 교반밀 내의 분쇄매체의 운동 ---

서혁상, 김성수, 정한영, 최우식*, 우메카게**, 유우신이찌**

*부산대학교 제약학과, 대학원 학과간 분체공학협동과정

**일본구주공업대학 공학부 기계공학과

The Ultra-fine Grinding Mechanism of Inorganic Powders and

Surface Modification in Grinding Media Stirred Mill

(3) Motion of Grinding Media Balls

Sea, H. S., Kim, S. S., Jung, H. Y., Choi, W. S.*, Umekage. T.** and Yuu, S.**

*Depart. of Pharm. Manuf., Interdisciplinary Program

in Powder Technology, Graduate School, Pusan National University

**Department of Mechanical Engineering, Kyushu Institute of Technology, Japan

1. 서언

최근 신소재의 개발과 함께 submicron 영역에서의 초미분쇄가 주목을 받고 있다. 미분쇄 또는 초미분쇄기로서 매체형 교반밀이 mineral, ceramic, 화학제품, 그리고 고기능성 재료와 같은 다양한 산업에 종래의 분쇄시스템을 대체·사용되고 있는 이유는 미분쇄, 초미분쇄의 가능성과 적은 분쇄오염, 높은 에너지 효율에 기인하는 것으로 생각된다.

매체형 볼밀로서는 전동볼밀, 유성볼밀, 그리고 교반밀이 아주 유용한 분쇄기로 활용되고 있다. 더욱이 이들 밀은 물질의 분쇄는 물론 mechano-chemical 효과에 의해 재료를 활성화하는데 사용될 수도 있다. 밀 내의 볼 운동은 접촉점을 통하여 물질에 충격, 압축, 전단, 마찰 등의 응력을 제공하여 미분쇄 및 mechano-chemical  효과를 가져오게 한다1).

컴퓨터 시뮬레이션 기법은 직접적인 실험을 수행하기 곤란한 경우의 불연속적 이산적인 분립체의 유동 거동을 연구하는데 특히 유용하다. Cundall에 의해 개발된 DEM은 이산적인 입자계의 유동 거동을 취급할 수 있는 시뮬레이션법으로 유명하다2).

볼 밀 내의 매체 볼의 운동의 이해는 볼 밀의 분쇄기구의 해명을 위해서는 물론 새로운 재료의 설계를 위해서도 중요한 연구임에도 불구하고 아직 체계적인 시뮬레이션 연구는 부족하다3,4,5).

본 연구실에서는 지금까지 전동볼밀, 유성볼밀, 교반볼밀 등 각종 매체형 볼밀에 대한 미분쇄연구를 수행하여 왔다6). 각종 볼밀에 대한 체계적인 분쇄기구의 해명을 위한 일련의 연구의 하나로서 여기서는 교반볼밀 내의 매체볼의 운동에 대한 시뮬레이션을 위한 연구를 수행하여 몇몇 유익한 지견을 얻었기에 이에 보고하고자 한다.

2. DEM에 의한 교반볼밀 내의 볼 운동의 시뮬레이션 방법

기본적으로는 DEM에서 수행하는 계산은 구형입자에 대한 Newton의 제2법칙과 접촉점에서의 힘-변위 법칙을 교대로 적용한다. 시뮬레이션하기 위한 입자간 접촉력은  Voigt의 모델을 사용하였다2). 입자 간에 탄성스프링과 점성 대쉬폿을 도입하여 어떤 착목 입자에 다른 입자들의 접촉에 의해 작용하는 힘을 시뮬레이션한다. 전단 방향에는 마찰슬라이드가 또한 도입되어 접촉에서의 미끄러짐을 시뮬레이션할 수 있다.

본 연구에서는 Hertz의 접촉이론이 탄성스프링에 이용된다. 법선방향 상대변위 □n과 전단방향 상대변위 □s는 힘-변위법칙을 이용하여 법선력 증분 □Fn과 전단력 증분 □Fs을 계산한다.

[eqn: □F_n``=``k_n □n],  [eqn: □F_s``=``k_s □s]	(1)

여기서 normal stiffness  kn 는 Hertz 의 접촉이론에서 다음과 같이 얻어진다.

[eqn: k_n``=`` left( E over {1-□_p ^2} right )``left( D_p over 4 right)^{1/2}□^ 1/2]	(2)

여기서 E, □ 및 □p 는 각각 탄성률, 누적변위 및 포아송 비이다. 이 계산에서 법선 stiffness kn과 전단 stiffness ks 간의 관계는 ks = (1/5)kn.으로 가정한다.  접촉점에서 법선 및 전단 방향의 점성 대쉬폿에 의한 댐핑력 증분 □Dn, □Ds 는 상대속도증분의 법선 및 전단 방향성분 [eqn: □dot n] and [eqn: □ dot s] 에 비례하여 다음과 같이 된다.

[eqn: □D_n``=``-□_n □ dot n], , [eqn: □D_s``=``-□_s □ dot s]	(3)

시간 t 에서의 법선과 접선방향의 접촉력과 댐핑력은 각각 식(4), (5)와 같다.

[eqn: ( F_n )_t = (F)_{t-1} + □ F_n], [eqn: ( F_s )_t = (F_s )_{t-1}+□ F_s]	(4)

[eqn: ( D_n )_t = (D)_{t-1} + □ D_n], [eqn: ( D_s )_t = (D_s )_{t-1} + □ D_s]	(5)

DEM의 지배방정식인 진동방정식을 풀기 위해, 법선댐핑계수 □n과 전단댐핑계수 □s는 각각 다음 관계식을 만족해야 한다.

[eqn: □_n``=``2 root {m_{p i} ``k_n}], [eqn: □_s``=``2 root {m_{p i} ``k_s}]	(6)

여기서 mpi는 i번째 입자의 질량이다.

전단 방향에서, 접촉점에서의 slip을 기술하기 위하여는 다음의 조건이 요구된다.

[eqn: (F_s )_t ``>``□(F_n )_t] 일 때,

[eqn: (F_s )_t ``=``sign ``[(F_s )_t ] · □_p (F_n )_t]	(7)

[eqn: (D_s )_t``=``0]	(8)

여기서 sign〔(Fs)t〕는 (Fs)t 의 부호를 의미하는 수학적 기호이며, □p는 마찰계수이다.

[eqn: sum from j ``[ (F_{n`i`j})_t ``+`` (F_{s`i`j} )_t ``+`` (D_{n`i`j})_t ``+`` (D_{s`i`j})_t ]]으로 각 방향에 대한 이들 접촉력 성분의 합은 합력을 준다. 또한 [eqn: sum from j ``[ (D_p /2 )``(F_{s`i`j} )_t ``+`` (D_p /2)``(D_{s`i`j})_t ]] 로 i 입자에 작용하는 합성 모멘트는  구한다.

여기서 총합은 □입자의 모든 접촉점에 대해 취해진다. 이와 같이 만약 □번째 입자가 □t 시간동안 합력과 모멘트에 의해 임의의 입자들로부터 독립적으로 변위한다면, Lagrangian 입자운동 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: m_{p i} {{d(u_{p i})_t } over dt } = sum from j `[ (F_{n`i`j})_t + (F_{s`i`j} )_t + (D_{n`i`j})_t+ (D_{s`i`j})_t ]][eqn: +m_{p i} g]	(9)

[eqn: I_{p i} {{d(□_{p i})_t } over dt }=sum from j `[ ( D_p over 2 )(F_{s`i`j} )_t + ( D_p over 2 ) (D_{s`i`j})_t ]]                         (10)

여기서 g, Ipi 및 □pi 는 각각 중력가속도, 입자의 관성 모멘트, 입자 각속도 벡터이다. 본 연구에서는 이 식(9)와 (10)에 의한 시간 도함수 항에 대해 forward difference scheme을 사용 하였다. Fig. 1와 Table 1에 각각 계산영역과 계산조건을 보인다.

Table 1. Calculation conditions

Dimensions of grinding pot			<Diameter>, D	□ 102 mm
			<Height>, H	□ 135 mm
Dimensions of the stirrer			<Diameter>, DB	□ 81 mm
			<Width>, WB	9 mm
			<Thickness>, TB	3 mm
			<Number>, nB	4 *
Rotation speed N				300 rpm
Particle number nP				16,736
Particle diameter DP				3 mm
Particle density □P				3.6×103 kg/m3
Particle mass mP				5.1×10-5 kg
Time step □t				5.1×10-5 s
Modulus of elasticity		<Particle-to-partilce> ,EP		2.0×106 N/m2
		<Particle-to-wall>, EW		2.0×106 N/m2
Poisson's ratio, □P				0.25
Damping coefficient	<Normal>, □n			=2[eqn: root {m_p`` k_n}] kg/s
	<Shear>, □S			=2[eqn: root {m_p`` k_s}] kg/s
Friction coefficient	<Particle-to-particle>, □P			0.2
	<Particle-to-wall>, □w			0.25
* each stirrer is consisted of 81 balls.

Fig. 1.  Computational domain

(unit: mm)

3. 시뮬레이션 결과 및 검토

81개의 ball로 구성된 교반 날개는 반시계방향으로 회전함에 따라 볼은 낙하하여 벽면으로 흩어진다. Fig. 2(A)에 나타낸 바와 같이 시간간격이 0.09 s 지났을 때 모든 볼이 폿의 벽면에 램덤하게 분산되었다. 여기서 분쇄를 위한 각종 힘, 즉 충격, 충돌, 마찰, 압축, 전단 등이 발생하는 것으로 생각할 수 있다. 분쇄시간이 지나감에 따라. 0.1452 s에서 볼은 흩어져 윗면에 확실히 나타나 보인다. 상부의 두 교반 날개가 회전속도 300 rpm에서의 Fig. 2(J), (K), (L)은 정상상태에서의 볼의 상부면의 유동패턴을 잘 나타내고 있다. 즉 벽면 쪽이 약간 올라가고 한복판의 축 쪽이 내려가는 볼 상부면의 유동패턴을 보여주고 있다.

비대오 사진의 관축결과와 잘 일치하며, 원심력과 중력의 평형에 의해 교반날개의 회전속도에 따라, 맨 상부면의 매체볼 면은 200 rpm 이하에서는 수평 유동패턴을, 300 rpm 에서는 중심쪽으로 오목한 유동패턴을, 700 rpm 이상에서는 벽면을 따라 유동하는 환상유동패턴을 보였다.

4. 결론

교반 밀에서의 분쇄매체 볼의 운동에 대한 시뮬레이션을 DEM에 기초하여 연구하고, 또 실험결과와 비교검토한 바 다음과 같은 중요한 결론을 얻었다.

(1) 분쇄매체의 운동의 위한 DEM 시뮬레이션법은 밀 내의 볼의 운동해석은 물론 분쇄기구의 해명에 유용한 도구임이 확인되었다.

(2) 교반볼밀 내의 분쇄매체의 유동패턴은 회전속도에 따라 다음과 같은 유동패턴을 보였다.

·n ≤ 200 rpm에서는 수평유동

·n =  300 rpm에서는 중앙이 낮고 벽면이 높은 유동

·n □ 700 rpm에서는 벽면을 따라 도는 환상 유동

본 연구는 한국과학재단(핵심연구 981-1104-015-2)의 지원에 의해 이뤄졌다. 감사를 드린다.

Fig. 2  Snapshots of the motion of grinding media balls around the stirrers

rotated in 300 rpm from 0 to 0.16 s.  (A) : Initial packing state

참고문헌

1. Yuu, S. and Umekage, T.: Numerical simulation of granular flow, Iron and Steel,

81(11), 556-563 (1995).

2. Cundall, P. A. and Strack, O. D. L.: A discrete numerical model for granular

assemblies, Geotechnique, 29, No. 1, 47-65 (1979).

3. 木山英郞, 藤村尙: 土木學會論文報告書, 333, 137-146 (1983).1.

4. 柳鎬鎭, 橋本, 齊藤文良, 동북대학소재공학연구소휘보, 49, 1-11 (1993).

5. Kano, J and Saito, F.: Powder Technology, 98, 166-170 (1998).

6. Choi, W. S. : Improvement of Grinding Rate by Composite Grinding Ball Size

for Ultrafine Grinding Mill, J. Soc. Powder Technol., Japan, 33(9), 747-752

(1996).