임계점 근처에서의 유동 및 열전달

정원석, 박흥목

서강대학교 화학공학과

Fluid flow and heat transfer near critical point

W.S.Jung and H.M.Park

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

단성분 유체가 임계점 근처에 도달하면 thermal diffusivity가 급격히 감소하고 compressibility가 급격히 증가하는 이상현상을 나타내게 된다. 따라서 임계점 근처에서의 유체에서의 열전달은 thermal diffusivity의 감소에 따른 critical slowing down과 압축성의 증가에 따른 대류의 급증으로 인한 열전달 촉진의 두 효과 모두를 고려하여야만 정확하게 구할 수 있다. 임계점 근처의 유체가 경계로부터 가열이 되면 높은 압축성 때문에 열 경계층 내의 유체가 먼저 급격히 팽창하고 그 결과 열에너지가 운동에너지로 변환되며 acoustic field가 형성되고 이것이 유체를 다시 단열압축시켜서 가열시킨다.

이론

단일 성분 유체(CO2)가 임계점에 접근하면 유체의 수송계수는 다음과 같은 거동을 보인다. [1]

[eqn: {lambda} over {lambda_0 '}=1 + LAMBDA left({T'-T_c '} over {T_c '}right)^{-0.5} ,~{C_P '} over {C_{P_0} ' }=1+C left({T'-T_c '} over {T_c '}right)^{-1}, ~ mu' over {mu_0 '}=1]     (1)

여기서 [eqn: LAMBDA] = 0.0385 이며 prime은 차원변수를 나타내고 0는 임계점에서 멀리 떨어졌을 때의 유체의 property를 나타낸다. [eqn: C_v]와 점도는 변화가 미미하므로 상수로 가정한다. 유체의 상태방정식으로 van der Waals식을 취하면 [eqn: T']가 [eqn: T_c ']에 접근하면 유체의 compressibility는 무한대가 된다. 따라서 이 경우 중력장에서는 강한 자연대류가 형성된다.

본 연구에서는 이차원 cavity 내에 임계점 근처의 유체가 채워져 있고 아랫면이 가열이 되는 경우 유동장과 열전달을 수치적으로 구하였다. 벽면의 온도는 [eqn: T_0 ']로 유지하고 초기 조건은 [eqn: rho_0 ' = rho_c '], [eqn: (T'-T_c ' ) /T_c ' = mu << 1]로 취하였다. 초기에 밑면의 온도를 천천히 올린 다음 일정온도로 유지하였다.  Cavity를 채우고 있는 van der Waals 기체가 압축성 점성유체이고 전도성이면 지배 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: {partial rho} over {partial t} + DEL cdot rho boldv ~=~0]                                                         (2)

[eqn: rho left( {partial {bold v}} over {partial t} + bold v cdot nabla bold v right) ~=~ - 1 over r DEL P + 4 over 3 epsilon DEL^2 bold v - rho g L' over {rRT_c '} bold j]                       (3)

[eqn: rho left( {partial T} over {partial t} + bold v cdot DEL T right) =~&-(r-1)(P+a rho^2 )DEL cdot bold v# &+epsilon left[ left( r over Pr right) left{ [1+LAMBDA(T-1)^-0.5 ] DEL^2 T# &- 1 over 2 LAMBDA (DEL T)^2 (T-1)^{- 3 over 2 } right}# &+ 4 over 3 r (r-1)(DEL cdot bold v )^2 right]]         (4)

여기서 [eqn: Pr]은 Prandtl수 이며 [eqn: epsilon]은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: epsilon ~=~ left( {t_a '} over {t_d '} right)Pr]                                                    (5)

[eqn: t_d ' ~= ~L^2 over {K_0 '}]                                                       (6)

[eqn: t_a '~ =~ L over sqrt{rR'T_c ' }]                                                  (7)

무차원화된 van der Waals 상태방정식은

[eqn: P=[rho T / (1-b rho )] -a rho^2]                                            (8)

여기서 [eqn: a= 9/8]이고 [eqn: b=1/3]이다.

초기조건은

[eqn: t=0~ ; &rho=1# &T=1+mu# &P= 3 over 2 (1+mu) - 9 over 8]

경계조건은

[eqn: &x=0 ~,~bold v =0 ~,~{partial T}over{partial x} =0# &x=1 ~,~bold v =0 ~,~{partial T}over{partial x} =0# &y=0 ~,~bold v =0 ~,~T=H(t)# &y=1 ~,~bold v =0 ~,~T=0#]

결과 및 토의

그림 1에 수치해석으로 구한 유동장과 온도장이 나타나 있다. 그림 2에는 가열이 되는 밑면 근처에서의 속도 분포가 그려져 있다. 특기할 점은 경계층 내에서 속도가 급격히 증가한 후 다시 감소하는 현상이다. 이것은 경계층 내에서 가열에 따른 유체의 급격한 팽창에 기인한다.

Fig.

Fig.

참고 문헌

[1] P. Guenoun, D. Beysens, B. Khalil, Y. Garrabos, B. Kammoun, B. LeNeindre

and B. Zappoli, Phys. Rev. E 47, 3 (1993)

[2] B. Zappoli and D. Baily, Phys. Rev. A 41, 2264-2267 (1990)

[3] A. Onuki, Phys. Rev. A 41, 2256-2259 (1990)

[4] B. Zappoli and D. Baily, Phys. Fluids A 2 (10), 1771-1779 (1990)