불안정 공정에 대한 다중루프 PID 제어기 튜닝

이동엽, 이용호, 박선원

한국과학기술원 화학공학과

Multiloop PID Controller Tuning for Unstable Systems

Dong-Yup Lee, Yongho Lee and Sunwon Park

Dept. of Chem. Eng., KAIST

1. 서  론

MIMO계에 대한 튜닝방법은 크게 multivariable control과 multiloop control으로 나누고 실제 현장에서는 간단하고 이해하기 쉬운 장점을 가진 multiloop control이 많이 쓰인다. MIMO계에서는 SISO 루프간의 Interaction이 존재하는데 이러한 영향으로 튜닝이 힘들게 된다. 따라서 많은 연구가 안정성을 보장하면서 이러한 Interaction을 어떻게 하면 효과적으로 줄이느냐에 집중되고 있다. 하지만 최근까지 발표된 논문은 안정된 공정에 대해서만 주로 연구되어져 있고 불안정한 공정에 대한 다중루프 제어기에 대한 연구는 별로 제시되어 있지 않다 [1-2]. 이미 Interaction을 줄이기 위한 효과적인 방법으로 SISO 루프에 대해서는 DCLR 튜닝방법 [3, 4]을 적용하면서 각 루프의 filter time constant들을 최적화 기준으로 결정하는 방법 [5]이 제안되어 졌다. 본 논문에서는 이 방법을 이용하여 불안정한 공정에 대한 효과적인 다중루프 제어방법을 제시하고자 한다. 이때 같은 최적화 기준이 적용되며 각 SISO 루프에 대해서는 DCLR 튜닝방법을 불안정 공정에 대해 확장시킨 방법 [6, 7]이 이용된다.

2. 이  론

Set Point Filter를 고려한 일반적인 다중루프 제어계는 그림 1과 같이 나타낼 수 있다.

그림 . 일반적인 다중루프 제어계

MIMO계에 대한 페루프의 전달함수는 다음과 같다.

[eqn: H = C over R = (I + GG_c )^-1 GG_c F]	(1)

먼저 diagonal에 있는 모델에 대해서는 각각 불안정한 공정에 대한 DCLR 튜닝방법 [6, 7]을 이용해 제어기를 설계한다. 모델식이 주어졌을 때 PID tuning parameters가 결정되며 이 때 parameters는 □(filter time constant)의 함수로 이루어진다. 각 루프에 대응되는 □는 본 논문에서 제안된 최적화 기준으로 결정된다.

2.1 불안정한 공정에 대한 DCLR 튜닝방법

Diagonal model인 [eqn: G_ii]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: G_ii (s) = P_Mii (s)~ P_Aii (s)]	(2)

여기서 [eqn: P_Mii]는 minimum phase portion이고 [eqn: P_Aii]는 nonminimum phase portion이다.

제어기를 설계할 때 폐루프 전달함수는 다음과 같다.

[eqn: C over R = {G_c G } over { 1+ G_c G}]	(3)

IMC 구조로 바꾸면

[eqn: C over R = G q]	(4)

[eqn: q= P_M ^-1 (s) f]	(5)

이고, 여기서 q는 IMC 제어기이다.

공정모델 G가 unstable pole들[eqn: up_1 , DOTSLOW , up_n]을 가지고 있을 때 q가 [eqn: up_1 , DOTSLOW , up_n]에서 zero를 가져야 공정 반응이 안정화 될 수 있다. IMC 제어기 [eqn: q= P_M ^-1 (s) f]이고 공정를 실현 가능하도록 하는 [eqn: f_s]부분과 공정의 불안정성을 상쇄시켜주는 [eqn: f_d]로 나눌 수 있다.

[eqn: f = f_s ~f_d]	(6)

[eqn: f_s = 1 over { ( lambda s +1 )^n }]	(7)

[eqn: f_d = ( SUM from { {i}=1} to m alpha _i s^i +1 )/ { ( lambda s+1 )^m }]	(8)

여기서 [eqn: alpha _i]는 공정의 불안정한 pole을 제거하도록 정해준다.

[eqn: 1- G q vert _{ s=up_i , DOTSLOW , up_n } =0]	(9)

이렇게 해주면

[eqn: C over R = G q = { P_A } over { ( lambda s+1)^n } TIMES { LEFT ( SUM from { { i}=1} to m alpha _i s^i +1 RIGHT )} over { ( lambda s +1)^m }]	(10)

이고, lead term인[eqn: LEFT ( SUM from { { i}=1} to m alpha_i s^i +1 RIGHT )]에 의해 야기되는 overshoot를 없애기 위하여 다음의 setpoint filter를 고려한다.

[eqn: f_R = 1 over { LEFT ( SUM from { { i}=1} to m alpha_i s^i +1 RIGHT ) }]	(11)

그리고, 제어기[eqn: G_c]는 다음과 같이 설계되어진다.

[eqn: G_c = q over {1- Gq}]	(12)

이때 설계되어진 제어기는 Maclaurin series를 이용해서 Standard PID 제어기 형태로 표현되며 [eqn: lambda]의 함수로 나타낼 수 있다.

2.2 최적화 기준

각 SISO 루프에 대해 불안정한 공정의 경우 위의 방법을 이용하고 안정한 공정에 대해서는 DCLR방법을 이용하면서 다음의 최적화 기준을 적용해 다중루프 PID 제어기를 설계할 수 있다.

MSOM 기준 (Mimimum Sum of Off-diagonal Mp) [5]

[eqn: {min} atop { lambda _i} SUM from { i} ~SUM from { j } ~ LEFT [{M_P}_{ ij} RIGHT ] _{i != j}]	(13)

[eqn: {M_P}_{ii} <{M_Pu}~~~i=1, CDOTS ,N~~~~j=1, CDOTS ,N~]

여기서 [eqn: M_P]는 maximum magnitude of the frequency response이다. H에서  Diagonal [eqn: M_P]는 Upper bound를 주고 Off-diagonal [eqn: M_P]가 최소화하는 각 루프의 filter time constant, [eqn: lambda_i]를 찾는다.

3. 예  제

제안되어진 방법을 이용해 다음 2가지 불안정한 공정에 대해 적용하였다.

(1) Case 1 (Semino and Scali, 1996) [8]

[eqn: G(s) = LEFT ( MATRIX { { {2.5 e^{-4.5s} } over {15s-1} }& { 0 }# {{1.8 e^{-10s} } over {(15s-1)(5s+1)} }& {{4 e^{-10s} } over {5s+1} } } RIGHT )]	(14)

(2) Case 2 (Govindhakannan and Chidambaram, 1997) [9]

[eqn: G(s) = LEFT ( MATRIX { { {1.6667 e^{-s} } over {1.6667s-1} }& { {0.3 e^{-s} } over {0.5s+1} }# {{0.8333 e^{-s} } over {1.6667s-1} }& {{0.5 e^{-s} } over {0.5s+1} } } RIGHT )]	(15)

두 가지 경우 모두 loop 1에 대해서는 불안정한 공정이고 loop 2에 대해서는 안정한 공정이다. 따라서 불안정한 FOPDT 공정모델을 가진 loop 1에 대해서 다음의 PID parameter들과 setpoint filter를 설계할 수 있다.

[eqn: G = {K e^{- theta s} } over { tau s -1}]	(16)

[eqn: K_c = tau_I over {-K (2 lambda +theta -alpha )}]	(17)

[eqn: tau_I = -tau +alpha - {lambda^2 +alpha theta -theta^2 /2} over { 2 lambda +theta -alpha }]	(18)

[eqn: tau_D = { -tau alpha - { theta^3 /6 -alpha theta^2 /2 } over { 2 lambda +theta -alpha } } over tau_I - { lambda^2 +alpha theta -theta^2 /2 } over {2 lambda + theta - alpha }]	(19)

[eqn: f_R = 1/(alpha s +1)]	(20)

이 때[eqn: alpha = tau LEFT [ LEFT ( lambda /tau +1 RIGHT )^2 e^theta/tau -1 RIGHT ]]이다.

loop 2에 대해서는 DCLR 방법을 이용해 설계하여 MSOM 기준에 의해 표 1에서 나타난 튜닝값들이 결정되어진다.

표 . 예제에 대한 제어기 parameters 값

	Case 1								Case 2
	SS			Proposed					GC		Proposed
	[eqn: K_c]	[eqn: tau_I]	[eqn: tau_D]	[eqn: lambda]	[eqn: K_c]	[eqn: tau_I]	[eqn: tau_D]	[eqn: alpha]	[eqn: K_c]	[eqn: tau_I]	[eqn: lambda]	[eqn: K_c]	[eqn: tau_I]	[eqn: tau_D]	[eqn: alpha]
loop1	0.918	54.7	0.222	3.5	1.659	17.83	1.85	15.8	1.017	23.42	1.5	1.1	9.715	0.404	9.296
loop2	0.171	22.5		5	0.139	8.333			0.417	1.0	2.85	0.327	0.630

2가지 case에 대해서 설계되어진 제어기에 의한 폐루프 반응은 그림 2에서 5까지 보여지고 기존의 방법과 비교해 더 좋은 폐루프 반응을 나타내었다.

4. 결  론

이 논문에서는 불안정한 MIMO계에 대해 DCLR 방법을 불안정한 공정에 확장시킨 방법을 이용하고 각 루프의 filter time constant들은 최적화 기준으로 정하여 튜닝하는 새로운 방법이 제시되었다. 제시되어진 방법을 이용해 2가지의 불안정한 공정에 적용하여 기존의 방법보다 좋은 결과를 나타내었다.

감  사

포항공대 지능자동화 연구센터(ERC)를 통한 한국과학재단의 부분적 재정 지원에 감사드립니다.

참고문헌

[1] Samyudia, Y.; Lee, P. L.; Cameron, I. T. A new approach to decentralised control design. Chem. Eng. Sci. 1995, 50, 1695.

[2] Loh, E. J.; Chiu, M.-S. Robust decentralized controller design for unstable systems. Chem. Eng. Sci. 1997, 52, 2299.

[3] Lee, Y.; Lee, M.; Park, S. PID controller tuning to obtain desired closed-loop responses for SI/SO systems. AIChE Journal, 1998, 44, 106.

[4] Lee, Y.; Lee, M.; Park, S. PID controller tuning to obtain desired closed-loop responses for cascade control systems. Ind. Eng. Chem. Res. 1998, 37, 1859.

[5] Lee, D.-Y.; Lee, Y.; Park, S. Application of SISO-DCLR method for multiple Input and multiple Output systems. Proceedings of '98 KIChE Fall meeting. 1998, 4, 2337.

[6] Lee, Y.; Lee, J.; Park, S. PID controller synthesis for open loop unstable processes with time delay. Proceedings of '98 KIChE Spring meeting. 1998, 4, 445.

[7] Lee, Y.; Lee, J.; Park, S. PID controller tuning for integrating and unstable processes with time delay. Submitted to Ind. Eng. Chem. Res. 1998.

[8] Semino, D.; Scali, C. Multiloop autotuning using relay feedback: limits and extensions. Computers. Chem. Eng. 1996, 20, S907.

[9] Govindhakannan, J.; Chidambaram, M. Multivariable PI control of unstable systems. Process Control and Quality. 1997, 10, 319.

그림 4. Case 2에 대한 루프1의 폐루프 응답

그림 2. Case 1에 대한 루프 1의 폐루프 응답

그림 3. Case 1에 대한 루프 2의 폐루프 응답

그림 5. Case 2에 대한 루프2의 폐루프 응답