RPEM을 이용한 pH공정의 변수추정 및 적응제어

*이태철(학), 윤태웅*, 양대륙(정)

고려대학교 공과대학 화학공학과

고려대학교 공과대학 전기전자전파공학부

Parameter Identification and Adaptive control of pH Process

Using RPEM

Tae Chul Lee, Yoon Tae Woong*, and Dae Ryook Yang

Department of Chemical Engineering, Korea University

*School of Electrical Engineering, Korea University

서론

pH 공정은 제어 목적은 적정용액을 이용하여 유출되는 흐름의 pH를 일정한 값으로 유지하는 것이다. 이러한 pH 공정의 제어는 공정의 특성상 상당히 어렵고 또한 이 공정에 대한 제어기 설계가 그렇게 쉬운 것은 아니다.  이전에는 간단한 적분-비례 제어기들이 많이 사용되었으나 이 제어기들은 대부분 정확한 pH값을 유지하지 못하였거나, oscillation한 반응을 보이는 특성이 있었다. 또한 pH공정은 비선형성이 강해 모델링이 어려웠다.  pH 공정의 동적 모사가 어려운 이유는 수용액상에서 산과 염기가 반응을 할 때 이 시스템은 분명히 하나의 화학 반응이 일어나는 반응기이다. 그러나 일반적으로 이러한 산염기 반응은 평형상태라 가정하기 때문에 반응상수를 무한대로 하고 반응기 모델을 얻을 수밖에 없다.  이러한 이유로 pH 공정의 동적 모델 개발은 어렵다. 이러한 경우 반응 속도식을 제외한 형태의 모델링이 시도되었으나 일반적 형태의 모델링이라고 볼 수는 없다.[1]

그림  pH neutralization process

pH 공정의 동적 모델을 개발한 경우 이 모델의 비선형성이 매우 심하므로 이러한 모델을 이용한 공정 변수의 예측이 어려워 제어기 설계가 힘들다.

본 연구에서는 이러한 모델링의 어려움을 극복할 수 있는 reaction invariant를 이용한 모델을 통해 pH공정에서 공정변수를 RPEM(Recursive Prediction Error Method)를 이용해 추정해보았고, 이렇게 추정된 변수를 이용하여 indirect adaptive nonlinear controller를 설계하여 pH제어에 적용하였다.[1, 2]

본론

1. Reaction Invariant

Chemical reaction invariant란 시스템 내에서 화학반응에 의해 영향을 받지 않는 변수를 의미한다.  이러한 invariant는 일반적으로 시간이나 공간의 함수일 필요는 없다.[1]  Reaction invariant를 이용하여 화학반응식을 표현하는 것은 가능하며 이런 경우 invariant의 정보를 이용하여 화학반응식을 계산할 수 있으며, 화학반응식을 이용하여 invariant의 정보를 계산할 수도 있다.

이 reaction invariant를 이용하여 화학반응식을 구성하는 경우 새로운 변수를 이용하여 나타내는 것이 아니라 기존에 있는 반응식에 의한 제약조건을 나타내는 것이며, 이러한 reaction invariant를 이용하는 경우 수치계산을 매우 효과적으로 수행할 수 있다는 장점이 있다.

2. Dynamic Model for pH process[4]

본 연구에서 사용된 pH 중화장치는 그림 1과 같으며 각 stream에 대한 설명은 다음과 같다.  q1 : acid stream, q2 : buffer stream, q3 : base stream.  이 장치 내에서 일어나는 화학반응은 다음과 같다.

[eqn: rm H_2 CO_3 &<-> HCO_3^- + H^+ # rm HCO_3^- &<-> CO_3^2- + H^+ # rm H_2 O &<-> OH^- + H^+]

반응평형상수는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: K_a1 = rm {[HCO_3^- ] [H^+ ]} over {[H_2 CO_3 ]}, it K_a2 = rm {[CO_3^2- ] [H^+ ]} over {[HCO_3^- ]}, it K_w = rm [H^+ ][OH^- ]]

Reaction invariant를 이용한 pH 공정의 화학적 평형을 구성한다.  본 시스템의 경우 두 개의 invariant를 각각의 입력 흐름에 대해 정의한다.

[eqn: W_ai &= rm [H^+ ]_i - [OH^- ]_i - [HCO_3^- ]_i - 2[CO_3^2- ]_i # W_bi &= rm [H_2 CO_3 ]_i + [HCO_3^- ]_i + [CO_3^2- ]_i]

Invariant Wa는 전하와 관련된 항이며, Wb는 carbonate ion과 관련된 항이다.

이러한 invariant를 이용한 pH 공정의 동특성 방정식은 다음과 같다.

[eqn: V {dW_a4} over { dt} &= q_1 (W_a1 - W_a4 ) + q_2 (W_a2 - W_a4 ) + q_3 (W_a3 - W_a4 ) # V {dW_b4} over { dt} &= q_1 (W_b1 - W_b4 ) + q_2 (W_b2 - W_b4 ) + q_3 (W_b3 - W_b4 ) #]

위의 식에서 다음과 같은 상태변수와 입력 출력을 정의하여 비선형 상태방정식을 구성할 수 있다.

[eqn: {bold x} = [W_a4 W_b4 ]^T , u=q_3 , y=pH]

[eqn: {bold {dot x}} = - 1 over V bmatrix{ {q_1 + q_2 } & 0 # 0 &{q_1 + q_2} } {bold x} - 1 over V bmatrix{ W_a3 - x_1 # W_b3 - x_2 } u + bmatrix{q_1 W_a1 + q_2 W_a2 # q_1 W_b1 + q_2 W_b2 }]

[eqn: c(x,y) = x_1 + 10^{y-14} - 10^-y + x_2 {1+2 times 10^{y-pK2}} over { 1 + 10^{pK1-y} + 10^{y-pK2}}]

3. RPEM

RPEM은 innovation model을 이용하여 다음의 회귀적 예측오차 방법의 알고리즘을 구성할 수 있다.

[eqn: epsilon (t)= y(t) - hat y (t)]

[eqn: hat LAMBDA (t) = hat LAMBDA (t-1) + gamma(t) [ epsilon(t) epsilon^T (t) - hat LAMBDA (t-1)]]

[eqn: R(t) = `R(t-1) + gamma(t) [ PSI(t){hat LAMBDA}^-1 (t) PSI^T (t) - R(t-1)]]

[eqn: hat theta (t)= hat theta (t-1) + gamma(t) R^-1 (t) PSI(t) {hat LAMBDA} ^-1 (t) epsilon(t)]

[eqn: W(t+1) = [A_t - G_t C_t ]W(t) + {bar M} _t - G_t D_t]

[eqn: PSI(t+1) = W ^T (t+1) C_t ^T + D ^T (hat theta (t) , hat x (t+1))]

[eqn: hat x (t+1) &= A sub t hat x (t) + B _ t u(t) + G _t epsilon(t) # hat y (t+1) &= C _t hat x (t+1)]

[eqn: bar M (theta,x,u,epsilon) == partial over {partial theta} LEFT [ A(theta)x+B(theta)u+G(theta)epsilon RIGHT ] vert_{theta= hat theta }]

[eqn: D(theta, x)= partial over {partial theta} [C(theta)x] vert_{theta=hat theta}]

본 연구에서는 상태방정식과 출력식의 비선형성이 매우 강하므로 위의 방법을 그대로 사용할 수 없다.  예측출력은 equation solver를 이용하여 계산하며 비선형 모델을 선형화하여 사용하지 않고 비선형의 상태로 이용하여 알고리즘을 구성하여 사용하였다.

그림  공정 변수의 예측

4. Adaptive Backstepping Controller Design[5]

본 연구에서 사용된 adaptive backstepping controller는 기존의 feedback linearization controller에 비해 여러 가지 장점이 있다.  그 가운데 controller를 parameter estimator와 독립적으로 설계를 하여 controller에 구성에 사용할 수 있다는 이점이 있다.  이 방법에 따라 pH공정에 대한 controller를 구성하면 다음과 같다.

[eqn: u= - 1 over {c_y^{-1} c_x g} LEFT {(c_1^2 - eta^2 ) z_1 - eta(c_1 + c_2 ) z_2 - eta k || phi||^2 z_2 - phi^T hat theta + c_y^-1 c_x f + dot y_d RIGHT }]

여기서 c1=0.0225, c2=0.0225,□=0.0225, k=10-5, [eqn: phi = -(c_y^-1 c_x F )^T]

결론

인용문헌 7에 주어진 데이터를 이용하고 Wa2와 Wb2를 공정파라미터라 선정한 후 RPEM을 수행하였다.  공정을 PRBS를 이용하여 100개의 샘플링 동안 excitation시킨 후 RPEM을 적용하여 35분 동안 5초의 샘플링 시간을 이용하여 420개의 데이터를 이용하였다.  파라미터를 예측하기 위해 100개의 샘플링 동안은 파라미터 예측을 위해 사용되었으며, 그 이후 pH 제어를 시작하여 파라미터를 계속 예측하며 제어하였다.

그림  공정출력과 추정치의 비교

RPEM을 수행하여 모델의 파라미터 및 상태변수, 출력변수에 대한 예측치에 대한 결과는 그림 2에 주어져 있으며 RPEM과 controller를 이용해 도입부에서 추정을 하고난 후 제어를 한 결과는 그림 3에 주어져 있다.  결과에서 보듯이 RPEM을 이용하여 파라미터 인식을 뛰어나게 잘하고 있으며 제어를 한 결과도 만족스럽게 나오고 있다.

현재 연구는 time invariant 공정 파라미터에 대한 파라미터 인식을 적용하였으나 추후 연구과제는 time varying 공정파라미터에 대한 인식 및 제어 성능에 대한 검증이 필요하다.

참고문헌

1.	Waller, K. V. and Makila, P. M. : Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev., 20, 1 (1981)

2.	L. Ljung : "Theory and Practice of Recursive Identification", the MIT Press, 1983

3.	Gaustafsson, T. F. and Waller, K. V. :  Chem Eng. Sci., 38, 389 (1992)

4.	Heson, M. A. and Seborg, D. E. : Int. J Adapative Control and Signal Processing, 11, 171 (1997)

5. Krstic, M., Kanellakopoulos, I., and Kokotovic P. : "Nonlinear and Adaptive Control Design", John Wiley & Sons inc. (1995)

6. Yoon, S. S., Yoon, T. W., Yang, D. R., and Kang, T. S. : IFAC 99 (submitted)

7. 이태철, 양대륙 : 화학공학의 이론과 응용 4권 2호 (1998)