비단열 고정층 반응기의 차수감소 모델링

엄용태, 이광순

서강대학교 화학공학과

Design of Reduced Order Model for the Fixed Bed Reactor

Yong Tae Eom, Kwang Soon Lee,

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

공정의 동특성을 정확하게 나타내는 공정 모델이 주어져있을 때, 수식을 좀 더 쉽게 계산하기 위하여나 또는 빠른 계산을 위하여, 모델을 좀더 간단하게 표현하되, 원하는 정확도까지 공정의 본래 동특성을 견지하는 모델의 개발이 요구되어오고 있다. 본 연구에서는 공정의 입력-출력 map을 이용한 차수감소 모델을 개발하여, 비단열 고정층 반응기에 적용하고 기존의 차수감소 모델링의 방법과 비교하였다.

본론

비단열 고정층 반응기의 모델링

본 연구에서는 80년대이후 Maleic Anhydride 생산을 위한 가장 경쟁력있는 생산공정으로 자리를 잡아가고 있는 부탄(butane)으로부터 M.A (Maleic Anhydride)을 생산하는 공정을 그 적용 대상으로 하였으며 그림1에 그 공정의 반응 경로를 나타내었다.

그림 1. 반응 경로

고정층 반응기의 모델은 다음의 세 가지 가정하에서 수립하였다.

1. 반경방향 확산효과 무시

2. 의사 균일 상태

3. 반응기 매개변수 시불변

이러한 가정에 근거한 비정상상태 물질수지, 에너지수지식은 다음과 같다.

물질수지식   : [eqn: partialC_i over {partial t} = - ( {1 over {tau epsilon}} ) {partial C_i} over {partial z} + ( D_er over {R^2 tau}) nabla_r^2 ~C_i + rho _B over epsilon R_i]          (1)

where   i=1 ; n-butane    i=2 ; MA

에너지수지식 :[eqn: {partial T} over {partial t} = -( {C_pg rho_g} over {bar C tau} ) {partialT} over {partial z} + ( k_er over {R^2 bar C} ) nabla_r^2 ~T + {rho _B C_R} over {T_R bar C} SUM from { {i }=1} to 3 DELTA h_i R_Ti](2)

Collocation에 의한 엄밀 수치모델 구성

엄밀수치모델은 차수를 증가시켜 가면서 정밀도가 더 이상 개선되지 않는 차수를 찾아 구성, 축방향으로는 7차, 반경방향으로는 3차의 polynomial을 적용을 하였다.  농도는 온도에 비하여 거의 변함이 없으므로, 농도에 대하여 준정상상태가정을 도입하여 수치모델식을 구했으며, 최종적으로 반응물과 생성물의 농도에 관한 2개의 대수식과, 온도의 시간에 관한 1개의 상미분방정식을 구하였다.

차수감소 모델 구성

[eqn: dot x = f(u,x,theta)]

시스템의 상태벡터인 x가 위와 같은 시스템식을 구성한다고 할 때, 시스템의 차수보다 작은 수의 기저벡터로 시스템을 표현하면 다음과 같다.

[eqn: x approx b_1 a_1 + b_2 a_2 + CDOTS + b_p a_p, ~~ where~ p < dim(x)], b : 기저벡터, a : 매개변수

즉 높은 차수의 시스템 상태 벡터를 더 낮은 차수의 기저 벡터로 근사함으로써 시스템의 차수를 낮출 수 있으며, 기저 벡터를 구하는 다양한 방법이 현재 제시되어 있다.

전통적인 방법으로는 Singular Value Decomposition, Principle Component Analysis 또는 Karhunen-Loeve Decompostion 과 같은 방법을 들 수 있는데, 이것은 입력에 적당한 excitation을 주어서 나오는 출력을 위의 방법을 적용한 후 특이치값에 따라 출력 특이치 벡터중의 일부를 선택하는 방법이다. 그러나 이 방법은 기저벡터가 입력의 주파수 성분에 크게 의존한다는 단점이 있다. 이를 보완하여 본 연구에서는 시스템의 기저벡터를 시스템의 입력-출력 map을 통하여 구하는 방법을 제시하였다.

입력-출력 map을 이용한 새로운 접근 방법

적용 방법은 아래와 같다.

1. 입력에 적당한 excitation을 준다.

2. 입력-출력 데이터를 이용하여, identification 방법을 적용, 시스템의 모델을 구하고, 이 모델에 의한  impulse 응답으로 입력-출력 map을 구성한다.

3. 이 map에 singular value decomposition을 수행한다.

4. 지배적인 특이치 값에 따라, 출력 특이치 벡터중의 일부를 기저 벡터로 선택한다.

세부적인 적용 방법은 아래와 같다.

1. 입력 신호 적용

입력신호로는 반응기의 외벽온도 그리고 출력신호는 반응기 내부의 온도를 선택하였으며, 입력신호의 정상상태값에 Pseudo-Random-Binary-Sequence 신호를 더하여 입력 excitation 신호를 가하였다.

2. 시스템 인식

입력,출력 데이터로 impulse 계수를 구하기 위하여 least square method를 사용하였으며, 아래에 구하여진 impulse 응답을 보였다.

그림 2. 공정의 impulse 응답

3. 위 map에 singular value decompostion을 수행한다.

특이치	전통적인 방법	New
s1	86.5367	2.4579
s2	0.2368	1.4875
s3	0.0992	0.4642
s4	0.0552	0.2853
s5	0.0134	0.2017

표 1. 특이치값

4. 모델 재구성

시스템중의 출력상태벡터를 위에서 구한 차수가 감소된 기저벡터와 매개변수의 곱으로 대체하여 전체 식을 재정리한다.

수치모사 결과

1. 초기에 반응기내의 온도가 정상상태에 있지 않았을 경우의 반응기 온도 응답 특성을, 본래의 시스템과 새로운 방법을 적용한 시스템 그리고 전통적인 K-L 방법을 적용한 시스템으로 나누어 각 응답 특성을 비교하였다. 응답 특성의 차이가 없이 두 방법 모두 만족할 만한 응답 곡선을 그리는 것을 볼 수가 있다.

그림 3. 반응기 내부의 온도 변화에 따른 세 시스템의 온도 응답 곡선

2. 입력인 반응기 외벽 온도에 5도의 step change를 주었을 경우, 각 시스템의 온도 응답을 아래에 보였다. 이 역시 두 시스템 모두 별다른 차이없이 만족할 만한 온도 응답을 보이고 있는 것을 볼 수가 있다.

그림 4. 반응기 외벽 온도에 5도의 step change을 가하였을 경우, 각 시스템의 온도 응답 곡선

3. 기저벡터 개수에 따른 정확도 비교

반응기 외벽 온도에 1도에서 10도까지 step change을 주었을 경우의 두 시스템의 응답의 오차의 제곱합을 나타내었다. 기저벡터의 개수에 따라서 기저벡터를 3개를 취하였을 경우는 기존 방법이 다소 앞서나, 4개 이상을 취하였을 경우는 본 연구에서 제시한 방법이 현저히 작은 오차를 보여줌을 볼 수 있다.

그림 5. 외벽온도의 step change에 따른 기저벡터개수별 제곱합 오차 곡선

결론

입-출력 map을 이용하여 기저벡터를 찾는 새로운 방법은, 출력 벡터에 K-L Decomposition을 적용하는 기존 방법의 단점을 보완하며, 더 좋은 정확도를 나타냄을 확인할 수 있었다.