추출 컬럼의 공정모사 및 차수감소 모델의 적용

임순혁, 양대륙

고려대학교 화학공학과

Modeling of Extraction Column and Application of Reduced Order Model

Soon Hyuk Im, Dae Ryook Yang

Department of Chemical Engineering, Korea University

서론

화학공학의 중요한 분리공정 중 하나로 추출을 들 수 있다. 추출공정의 제어는 여러 상의 액체가 서로 공존해 있고 출력변수의 직접적인 측정이 곤란하여 많은 어려움을 내포해 왔다. 이전의 연구는 유체역학적인 면은 정상상태로 간주한 채 오직 물질전달의 transient response만을 다루어 왔다. 본 연구에서는 유체역학적인 면과 물질전달을 동시에 고려하여 만든 모델식을 바탕으로 하여 여기에 차수감소모델의 하나인 PCA를 적용시켜 보았다.

이론

추출공정의 수학적 모델링을 위해서 다음과 같은 가정이 수반된다.

⑴ 각 상의 평균속도와 농도는 각 단의 단면에서는 일정하다.

⑵ 상의 부피유속은 질량유속이나 용질의 농도와는 무관하다.

⑶ 분산상 방울은 일정한 지름을 가진 구처럼 움직인다.

⑷ 모델은 추출 컬럼의 분산상에서 일어나는 공정을 나타내고 분산상의 길이는 고정되어 있다.

위의 가정을 바탕으로 한 유체동력학적 모델식은 다음과 같다. 3번째 가정에서 분산상은 일정한 지름을 가진 구형의 방울로 간주하고 분산상의 volumn holdup fraction(□)을 이용하여 식을 구성한다.

[eqn: {partial epsilon}over{partial t}&=`- {partial U_d}over {partial h}&=`-{partial (V_d epsilon)}over{partial h} + partial over {partial h} bigg(D_d {partial epsilon}over {partial h}bigg)# h&=0 ~;~ U_{d,i n} &= ~epsilon V_d - D_d {partial epsilon}over{partial h}# h&=l~~;~ {partial epsilon}over{partial h} &= ~0]

()

또한 물질전달식은 다음과 같다.

[eqn: {partial [epsilon X]}over{partial t} = - partial over {partial h} [V_d epsilon X] + partial over {partial h}bigg(D_d {partial [epsilon X]} over {partial h} bigg)+aK_X (X^* -X)]

()

[eqn: {partial [(1-epsilon) Y]}over{partial t} &= partial over {partial h} [V_c (1-epsilon) Y] #&+ partial over {partial h}bigg(D_c {partial [(1-epsilon) Y]} over {partial h} bigg)-aK_X (X^* -X)]

()

그리고 물질전달에서의 경계 조건은,

[eqn: h`=&0~;~&X_{i n} U_{d, i n} `=` epsilon V_d X - D_d {partial(epsilon X)} over {partial h}#&&{partial [(1-epsilon)Y]} over {partial h} `=` 0# h`=&l~;~&Y_{i n} U_{c, i n} `=` (1-epsilon) V_c Y + D_c {partial[(1-epsilon) Y]} over {partial h}#&&{partial [epsilon X]} over {partial h} `=` 0]

()

위에서 유도한 dynamic equation을 유한 차분 근사법(finite difference approximation)을 이용하여 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 만들 수 있다. 이 때 컬럼은 완전히 섞이는 30개의 단으로 되어 있다고 간주하고 축방향 분산계수는 높이와는 무관하다고 가정한다. 이를 바탕으로 holdup dynamics 식은 다음과 같이 나타내어진다.

내부 배열점(i)에서

[eqn: {partial epsilon_i }over{partial t}=-{ [epsilon V_d ]_i - [epsilon V_d ]_i-1 }over{Delta h} + D_d {epsilon_i-1 -2epsilon_i +epsilon_i+1}over {Delta h^2}]

()

경계조건을 이용하면,

[eqn: {partial epsilon_1 }over{partial t} &=- bigg([epsilon V_d ]_1 - D_d {epsilon_2 -epsilon_1 } over {Delta h}-U_{d,i n} bigg) 1 over {Delta h}# {partial epsilon_n } over {partial t} &=- {[epsilon V_d ]_n -[epsilon V_d ]_n-1 }over {Delta h} +D_d {epsilon_n-1 -epsilon_n } over {Delta h^2}]

()

물질전달에 관한 식도 마찬가지 방법으로 나타낼 수 있다.

내부 배열점(i)에서

[eqn: {partial [epsilon X]_i }over{partial t} =& - {[ epsilon X V_d ]_i - [ epsilon X V_d ]_i-1 } over {Delta h} #&+ D_d { [epsilon X]_i-1 -2[epsilon X]_i +[epsilon X]_i+1 } over {Delta h^2}+ N_i][eqn: {partial [(1-epsilon) Y]_i }over{partial t} =& {[ (1-epsilon) Y V_c ]_i+1 - [ (1-epsilon) Y V_c ]_i } over {Delta h} #&+ D_c { [(1-epsilon) Y]_i+1 -2[(1-epsilon) Y]_i +[(1-epsilon) Y]_i-1 } over {Delta h^2} #&- N_i]

()

()

여기서

[eqn: N_i `=` [a K_X (X^* -X)]_i `=` [a K_Y (Y- Y^* )]_i]

()

그리고 경계조건에 의해,

[eqn: {partial [epsilon X]_1 }over{partial t} =& - left([epsilonXV_d ]_1 - D_d {[epsilonX]_2 -[epsilonX]_1 } over {Delta h} - U_{d,i n}X_{i n} right) 1 over {Delta h} + N_1# {partial [epsilonX]_n } over {partial t} =&-{[epsilonXV_d ]_n - [epsilonXV_d ]_n-1 } over {Delta h} +D_d {[epsilonX]_n-1 -[epsilonX]_n } over {Delta h^2} + N_n # {partial [(1-epsilon)Y]_1 } over {partial t} =&-{[(1-epsilon)YV_c ]_2 - [(1-epsilon)YV_c ]_1 } over {Delta h} #&+D_c {[(1-epsilon)Y]_2 -[(1-epsilon)Y]_1 } over {Delta h^2} - N_1 # {partial [(1-epsilon) Y]_n }over{partial t} =& Bigg( U_{c,i n}Y_{i n}-[(1-epsilon) YV_c ]_n #&- D_c {[(1-epsilon) Y]_n -[(1-epsilon) Y]_n-1 } over {Delta h} right) 1 over {Delta h} - N_n]위의 추출공정 모델식은 30개의 단에 대해 전체 90개의 미분방정식으로 구성되어 있다. 여기에 Principle Component Analysis(PCA)를 적용시켜 그 차수를 줄이는 방법을 선택하였다.

결과

위에서 고려하고 있는 추출공정은 2개의 input(분산상과 연속상의 부피유속)과 2개의 output(분산상과 연속상의 출구에서의 용질의 몰농도)을 가지고 있다. 우선  분산상의 부피유속에 10%의 PRBS를 가하여  PCs를 찾아낸 뒤 이를 이용하여 모델식의 차수를 줄이게 된다. 다음 그림은 분산상의 부피유속의 10% step change를 가하였을 때, 엄밀모델과 차수감소 모델의 결과를 함께 나타낸 것이다.

그림 1.분산상의 출구에서의 용질의 농도

그림 2. 연속상의 출구에서의 용질의 농도

위에서 사용한 PCs는 12개를 사용하였을 때의 결과를 나타낸 것이다.

Pcs의 개수에 따른 엄밀모델과의 차이를 비교해 보면 표1과 같다.

표  엄밀모델과 차수감소모델의 PCs에 따른 오차

PCs 개수	(엄밀모델-차수감소모델)의 절대값의 합
	분산상	연속상
12	0.0298	0.0019
10	0.1680	0.0075
8	0.1678	0.0102

연속상의 부피유속을 10% 변화 시켰을 때, 엄밀모델과 차수감소 모델의 출구에서의 용질의 농도는 그림 3, 4에 나타나 있다.

그림 . 분산상의 출구에서의 용질의 농도

그림 . 연속상의 출구에서의 용질의 농도

참고 문헌

1. O. Weinstein, R. Semiat and D. R. Lewin(1997) "Modeling, simulation and control of liquid-liquid extraction columns", Chem. Engng. Sci. vol. 53, no. 2, 325-339

2. H. Hufnagal, M. McIntyre and E. Bla□(1991), "Dynamic behavior and simulation of a liquid-liquid extraction column", Chem. Engng. Technol. 14, 301-306

3. C. Chatfield and Alexander J. Collins(1980), "Introduction to multivariate analysis", Chapman and Hall Ltd