가열면에 부착된 기포의 성장에 미치는 전기장의 영향

황수연, 조혜정, 강인석, 김무환*

포항공대 화학공학과, 포항공대 기계공학과*

The Effect of an Electric Field on the Growth

of a Bubble Attached to a Heating Surface

Su Yun Hwang, Hye Jung Cho, In Seok Kang, Moo Hwan Kim*

Department of Chemical Engineering, POSTECH

Department of Mechanical Engineering, POSTECH*

서론

기포의 동역학은 오래 전부터 학문적 관심 뿐만 아니라 산업적으로도 그 응용분야가 광범위하기 때문에 많은 연구자들에 의해 연구되어져 왔다. 전기장은 유체의 흐름에는 직접적인 영향을 주진 않지만 기포의 표면에 응력을 가해 모양을 변형시켜 간접적으로 영향을 줄 수 있는데, 이러한 성질을 이용한 응용 문제에 대한 관심과 연구가 많아지고 있다. 특히 액체 내의 기포는 열전달, 물질전달 등에 영향을 미치기 때문에 효과적으로 제어하는 것이 중요하다. 가열면에서는 열교환에 의해 기포가 생기고 자라게 되는데 여기에 전기장을 가하면 기포 표면의 형태변형이 일어나 성장 속도와 이탈 시점을 변화시킬 수 있다.

본 연구에서는 전기장이 가열면에 부착된 기포의 성장과 이탈 과정에 미치는 영향을 수치적으로 해석하였다. 기포는 액체와 기체사이에서의 비정상 상태 열전달에 의해 성장하게 된다. 전기장내에서 기포가 성장하는 동안 기포의 모양을 결정하는 것은 전기장과 유동장 문제를 포함한 자유계면 문제를 해석함으로써 얻을 수 있다. 본 연구에서는 직교좌표계를 구성하여 유한차분법으로 이러한 자유계면문제를 해석하였다. 본 연구는 2년전 발표된 같은 주제의 연구에 유체역학적인 부분을 보완하였다.

이론

균일한 전기장이 흐르는 액체 안의 가열 면 위에 부착되어있는 기포를 생각해보자. (그림 1. 참조) x 축을 중심으로 대칭인 계이다. 이 기포는 가열 벽면 위에 접촉 반지름 [eqn: r_c]와 접촉 각도 [eqn: theta_c] 로 고정되어 있다. 기포가 자라면서 [eqn: r_c]와 [eqn: theta_c] 두 요소가 모두 변화하는데 본 연구에서는 [eqn: r_c]이나 [eqn: theta_c] 한가지만 변한다고 가정한다.  이때 초기 기포의 부피를 [eqn: 2pi a_0^3 /3]로 두며 여기서 [eqn: a_0]는 같은 부피일 때 반구의 반지름이 된다. [eqn: theta]는 중심 축에서부터의 각도이다. 기포의 표면의 온도는 일정한 포화상태의 온도 [eqn: T_{sat}]와 표면장력 [eqn: gamma~]를 갖는다고 가정한다. 가열면은 일정한 온도 [eqn: T_w]을 가지며 전도체 이다. 기포내의 전도율과 유전율은 주위의 액체에 비해 무시할 만 하고, 액체의 전도율과 유전율은 일정하며, 자유전하가 없는 비 압축성 유체를 가정하였다. 따라서 기포로부터 먼 유체에는 다음과 같이 정의되는 일정한 전기장이 가해진다.

[eqn: E=-nabla phi] ,   [eqn: phi =-rcos theta]

기포는 가열 면의 액체와 기체사이에서의 비정상상태 열전달에 의해 성장하게 된다. 기포 주위의 전기장, 온도장, 유동장을 풀기 위한 지배 방정식은 각각  다음과 같다.

[eqn: nabla^2 phi = 0]  [eqn: Ja LEFT { {{partial T}over{partial t}} +(bold u cdot {bold nabla}T) RIGHT } = nabla^2 T ~~]

(1)

(2)

[eqn: { PARTIAL bold u} over { PARTIAL tau }+ {bold u} cdot nabla {bold u} = -{bold nabla}p_d + { 1} over { Re} nabla^2 {bold u}]

(3)

이는 모두 무차원화 된 식들로서, 식(2)에서 나타나는 온도장에서의 무차원 수 [eqn: Ja]는[eqn: Re]와 [eqn: Pr]의 곱으로 정의되며 다음과 같이 주어진다.

[eqn: Ja={{rho_l C_p T_c}over{rho_g L}}]

무차원 수 [eqn: Ja]는 기포 표면에서의 열전달 정도를 의미하며 [eqn: Ja]가 클수록 기포의 성장 속도가 빨라지게 된다.

지배방정식을 풀기 위한 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: (i)~ as ~r -> infty~:~phi `` ```-> ``-r cos theta, ~T`` -> ``0,~ {bold u}``->`` 0]

[eqn: (ii) ~at ~theta = 0,~r ~> R(theta,t)~:~ {{partial phi}over{partial theta}}=0,~ {{partial T}over{partial theta}}=0,~ {{partial {bold u}}over{partial theta}}=0]

[eqn: (iii)~ at~ theta={{pi}over{2}},~r>R(theta,t)~:~ phi=0,~T=1,~{bold u}=0]

[eqn: (iv) ~at ~r=R(theta,t)~:~ {bold n} cdot {bold nabla}phi = 0,~ T=0,~ {bold u} cdot{bold n} =-{1over{|{bold nabla}F|}} {{partial F}over{partial t}}]

표면에서는 kinematic condition과 normal stress condition이 적용되는데 여기서 [eqn: F]는 [eqn: F=r-R] 로 정의되는 shape function 이다. Normal stress condition 은 기포의 모양을 결정하게 되며 다음과 같은 관계식을 갖는다.

[eqn: TRIANGLE rho g tildex + LEFT [ LEFT [bold n CDOT LEFT ( bold n CDOT bold tildeT RIGHT ) RIGHT ] RIGHT ] = gamma ~LEFT (bold tilde TRIANGLED CDOT bold n RIGHT )]

(4)

이는 차원화 된 식으로서 다음과 같이 정의되는[eqn: bold tilde T]를

[eqn: bold tilde T =-tilde { p}_{d } boldI +2 mu bold tilde e + epsilon bold tilde E bold tilde E - { 1} over {2 } epsilon { tilde E}^{ 2} bold I]

(5)

무차원화 하면 다음과 같다.

[eqn: -Nc LEFT ( { p}_{d } -2 { e}_{ nn} RIGHT ) +Ng`x - {N e } over {2 } { { E}_{t } }^{2 } = LEFT ( bold TRIANGLED CDOT boldn RIGHT )]

(6)

여기에서 좌변의 무차원수인 [eqn: Nc,~Ng,~N e]는 다음과 같이 정의 된다.

[eqn: Nc= { mu u_c} over { gamma }] , [eqn: Ng= { TRIANGLE g { r_0}^{2 } } over { gamma }] , [eqn: N e= { epsilon { { E}_{ INF } }^{2 } { r}_{ 0} } over { gamma }]

무차원 수[eqn: N e]는 본 문제에서 전기장의 세기 정도를 나타내는 중요한 무차원수이다. [eqn: Nc]와 [eqn: Ng]는 각각 기포가 성장하면서 유체로부터 받는 저항의 정도와 중력의 영향 정도를 나타낸다. 기포의 성장 속도는 기포 표면에서의 에너지 수지식에 의해 다음과 같이 얻어 진다.

[eqn: {{dV}over{dt}}=int_A ( {{partial T}over{partial r}}) dA.~~]이탈 시기를 알기 위한 차원화된 수지식을 세워보면 다음과 같은 관계를 갖는다.

(7)

[eqn: Delta rho g tildeV_d = 2pi gamma tilder_c sin theta_c + int_tildeA (-{bold e}_x )cdot ({bold n} cdot {bold tildeT}) d tildeA ~~]

(8)

이를 무차원화 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다

[eqn: NgV_d = 2pi R_c sin theta_c + N e int_A { 1} over { 2} { { E}_{t } }^{2 } LEFT ( { bold e}_{ x} CDOT boldn RIGHT ) dA#+Nc int_A LEFT ( { p}_{d }-2 { e}_{nn } RIGHT ) LEFT ( { bold e}_{x } CDOT bold n RIGHT ) dA ~~~~~~~]

(9)

식(5)에서 좌변은[eqn: { bold e}_{x }]방향(위쪽방향)으로의 힘인 부력을 나타내며 우변은[eqn: - { bold e}_{x }]방향(아래쪽 방향)으로의 힘으로서 각각 표면장력, 전기력과 항력을 나타낸다. 기포가 성장함에 따라 각 시간에서의 모양이 결정되고 이때의 부피, 접촉 각, 접촉 반지름, 유동장과 전기장 등의 값으로 부터 각각의 힘이 계산된다. 우변이 좌변 보다 클 때 기포는 벽면에 부착되어 있지만 좌변이 우변보다 커지게 되면 기포는 벽면을 이탈하여 뜨게 된다.

결과

본 연구에서는 유체내의 가열 벽면 위에 있는 기포에 전기장을 가해 기포의 거동이 변화하는 것을 전기장, 온도장, 유동장을 수치적으로 해석함으로써 살펴보았다. 기포가 성장하면서 접촉각과 접촉 반지름이 모두 변하나 실제 계산에서는 접촉 각이나 접촉 반지름 중 하나를 고정하여 계산하였다. 기포가 성장하면서 부피와 부력이 증가함에 따라 벽면을 이탈하게 된다. 그림 2는 접촉 반지름을 고정시키고 [eqn: N e] 값의 변화에 따른 기포모양의 변화를 나타내었다. [eqn: N e]는 전기장의 세기 정도를 나타내는데, [eqn: N e] 값이 커짐에 따라 기포의 모양이 변화하는 것을 볼 수 있다. 기포의 표면이 절연되어 있기 때문에 전기장은 통과하지 못하고 수직방향으로 힘을 가하게 되어 기포가 양옆에서 많은 힘을 받는 것을 알 수 있다. 본 연구를 통한 전기장내 기포의 거동을 해석은 전기장을 이용한 열 및 물질 전달을 향상시키는 연구의 기초자료로 사용될 수 있으리라 기대된다.

참고문헌

1. Hye Jung Cho, Thesis: The Effects of an Electric Field on the       Dynamics of a Bubble Attached to a Wall

2. Hasan N. Oguz, Andrea Prosperetti, Dynamics of bubble growth       and detachment from a needle, J.Flud Mech. 257, 111-145

3. G.Ryskin, L.G.Leal, Numerical solution of free-boundary             problems in fluid mechanics. J.Flud Mech. 148, 1-35

4. L.Gary Leal, Laminar Flow and Convective Transport                 Processes, Butterworth-Heinemann, USA,(1992)

그림   전기장내의 가열면에 부착           되어있는 기포

그림  (Ja=10, Ng=0.1, Nc=0.00215) Ne값에 따는 기포의 모양