전기적 임피던스 단층 촬영 기법을 이용한 이상 유동 가시화에 대한 연구

김민찬*, 김 신**, 이윤준**

*제주대학교 화학공학과, **제주대학교 에너지공학과

Two Phase Flow Visualization by Using Electrical Impedance Tommographic Technique

Min Chan Kim*, Sin Kim** & Yoon-Joon Lee**

*Department of Chemical Engineering, **Department of Nuclear and Energy Engineering, Cheju National University

서론

이상 흐름(two-phase flow)은 기-액 접촉이 일어나는 다양한 화공 장치, 상변화가 발생하는 열교환 장치등에서 공정의 성능에 중요한 역할을 한다. 따라서 이상 흐름에서의 상 분포를 결정하기 위한 많은 연구가 진행되어 왔다. 최근에는 2상 또는 다상 유동에서 유동장을 교란하지 않으면서 유동장에 대한 정보를 얻기 위하여 Laser Doppler Velocimetry (LDV)와 Particle Image Velocimetry (PIV) 등 다양한 기법에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다.

전기적 임피던스 단층 촬영(Electrical impedance tomography; EIT)는 측정하고자 하는 물체에 아주 약한 전류를 흘려주고 물체 표면의 여러 위치에서 전압을 측정하여 물체 내부의 임피던스 분포를 예측, 재구성하는 기술이다. EIT는 기존의 X-ray 단층 촬영(Computerized Tomography; CT)이나 자기 공명 단층 촬영(Magnetic Resonance Imaging; MRI)에 비하여 매우 안전하며, 화상 복원 시간이 다른 단층 촬영 기법에 비하여 아주 짧다는 장점이 있서 의공학 분야에서 EIT에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다 [1,2].

본 연구에서는 EIT 기법의 장점을 이용하여 이상 흐름에서의 상 분포의 가시화를 시도하고자 한다.

EIT의 기본 원리

EIT를 이용한 영상 복원 문제는 주입된 전류와 내부 저항 분포가 주어져 있을 때 경계에서의 전압을 계산하는 정문제(forward problem)와 주입된 전류와 측정된 경계 전압으로부터 내부 저항 분포를 계산하는 역문제(inverse problem)으로 구성된다. 정문제는 이미 알고 있는 저항 분포로부터 경계에서의 전압을 계산하기 위한 다음과 같이 Laplace 방정식으로 주어진다.

[eqn: rm Del cdot ( 1/rho Del u ) = 0]                           (1)

여기서 u는 전압, [eqn: rho]는 저항(impdeance)이된다. 위의 방정식은 모델에 맞는 경계조건하에서 보통의 수치해법들, 예를 들면 유한 요소법(FEM), 유한 차분법(FDM), 경계 요소법(BEM)등이 사용될 수 있으며 본 연구에서는 FEM을 사용하였다. 역문제는 여러 방법으로 풀려지고 있으나 본 연구에서는 잘 알려진 Newton-Raphson법을 사용하였다.

Newton-Raphson법에서는 현재의 가정된 저항 분포 [eqn: rho]에서 FEM을 사용하여 계산된 경계전압 [eqn: f(rho)]와 측정된 경계 전압 [eqn: rm v = [ v_1 , v_2 , v_3 , cdot cdot cdot , v_M ]^T]와의 차의 제곱의 합

[eqn: rm Phi (rho) = 1 over 2 [f(rho) - v ]^T [f(rho) - v]]                    (2)

을 최소화하는 새로운 저항 분포 [eqn: rho]를 찾는다. 따라서 다음과 같은 조건을 만족하는 저항 분포를 찾는 것이 된다.

[eqn: rm Phi prime (rho) = [f prime (rho) ]^T [f(rho) - v] = 0]                    (3)

위의 (2)식은 비선형 이므로 다음과 같이 반복적인 선형화를 하여 푼다.

[eqn: rm Phi prime (rho^k+1 ) APPROX Phi prime (rho^k ) + Phi prime prime (rho^k ) (rho^k+1 - rho^k )= 0]              (4)

이 식을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

[eqn: rm Delta rho^k = rho^k+1 - rho^k = -H^-1 left{ J^T [ f(rho^k ) -v ] right }]                (5)

여기서 Hessian 행렬 H와 Jacobian 행렬 J는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: rm H = J^T J]   and  [eqn: rm J = {partial f_i } over {partial rho_j }]                      (6)

여기서 [eqn: rm f_i]는 i번째 경계 전압이고, [eqn: rho_j]는 j번째 요소에서의 저항값이다.

영상 복원 예

본 연구에서는 본격적인 실험에 앞서 영상 복원 알고리즘의 특성을 살표보기 위하여 특정한 저항 분포를 가정하여 경계 전압을 구하고, 이를 측정된 경계 전압이라 가정하여 역문제를 풀어서 영상 복원 특성을 살펴보았다.

(a)                                (b)

Fig. 1. Example 1. (a) assumed image and (b) reconstructed image.

(a)                                  (b)

Fig. 2. Example 2. (a) assumed image and (b) reconstructed image.

(a)                                   (b)

Fig. 3. Example 3. (a) assumed image and (b) reconstructed image.

(a)                                   (b)

Fig. 4. Example 3. (a) assumed image and (b) reconstructed image.

위의 계산 예에서 보듯이 EIT 기법을 사용하면 10번 정도의 반복 계산으로 분산 상(옅은 색)의 개수와 분포에 상관없이 연속 상(짙은색)과 분산 상의 분포를 개략적으로 예측할 수 있음을 보여준다. 복원된 결과는 상 경계에서는 명확한 정보를 주지 못하고 있다. 또 분산상이 근접하여 있으면 서로 다른 분산 상들이 겹쳐져서 보이고 있다. 따라서 좀 더 나은 영상을 얻기 위해서 fuzzy 논리등 좀 더 세련된 기법을 도입하여 연구를 수행하고 있다.

참고문헌

1. Webster, J.G. (ed.), Electrical Impedance Tomography, Adam Hilger, Bristol (1990).

2. Vauhkonen, M., Electrical Impedance Tomography and Prior Information,   Ph.D. Thesis, Kuopio Univ., Finland (1997).