수평 다공질 채널을 통한 강제대류 하에서의 와류불안정성 해석

정태준, 최창균

서울대학교 공과대학 응용화학부

The Onset of Vortex Instability in Laminar Forced Convection through Horizontal Porous Channel

T.J. Chung and C.K. Choi

School of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

밑면이 등온으로 가열되는 다공질층에서 Darcy-Rayleigh 수 [eqn: Ra_D]가 [eqn: 4 pi^2]이상이면 부력에 기인한 자연대류가 발생한다고 알려져 있다. 이러한 Horton-Rogers-Lapwood 대류는 Combarnous와 Bories[1]에 의해 잘 정리되었다. 한편 층류 강제대류 하에서 [eqn: Ra_D >= 4 pi^2]인 경우에 어느 지점에서 복합대류가 발생할 것인가를 예측하는 것은 실용적인 공정에서 중요하다. 다공질층에서의 이러한 복합대류는 지열의 이용, 곡물의 저장, 석유의 추출, 원자로의 단열과 냉각을 수반하는 물질 전달 문제뿐만 아니라 제품의 고순도 미세공정에서의 대류발생 억제에도 이용되고 있다.

본 연구는 밑면이 등온으로 가열되는 다공질층 내의 층류 강제대류 하에서의 와류 불안정성을 전파이론을 사용하여 해석하였으며 기본유동 하에서의 분산효과를 Renken과 Poulikakos[2]의 실험결과와 비교하였다.

이론

본 연구에서는 Fig. 1과 같이 밑면이 [eqn: X>=0]인 지점에서 일정온도 [eqn: T_w]로 가열되며 속도 [eqn: U_0]로 완전 전개된 층류흐름을 가정하였다. 이때 경계면에서 Darcy 흐름을 가정하여 미끄럼조건을 사용하였으며 속도가 비교적 큰 범위에서 적용되는 Forchheimer식을 운동식에 사용하였다. 또한 외력에 의한 밀도변화만을 고려하고 나머지는 온도변화에 무관하다는 Boussinesq가정을 도입하였으며 유체의 너비는 벽면효과를 무시할 수 있을 정도로 충분히 넓다.

본 연구에서 사용한 지배방정식들은 다음과 같다.

[eqn: TRIANGLED ·{bold U}=0]                                     (1a)

[eqn: LEFT ( { mu} over {K }+rho_0 LEFT | bold U_0 RIGHT | RIGHT ) {bold U}=- TRIANGLED P-rho g{vec k}]                 (1b)

[eqn: {bold U}· TRIANGLED T= TRIANGLED·(alpha_e TRIANGLEDT)]                          (1c)

[eqn: rho=rho_0 [1-beta(T-T_0 )]]                          (1d)

여기서 [eqn: bold U ,~ P,~alpha_e ,~rho_0 ,~ mu,~T,~T_0 ,~vec k] 는 각각 속도벡터, 압력, 유효 열확산계수, 유체의 밀도, 점도, 온도, 초기온도와 수직벡터를 나타낸다

자연대류가 발생하기 이전에는 강제대류가 지배적인 흐름을 좌우한다. 이는 대류발생 시 여러 가지 특성을 규정짓는데 중요한 역할을 하며 다음 식으로 나타내어진다.

[eqn: { ∂theta_0} over {∂x } ={ ∂ } over {∂z }left□(1+gamma_w +gamma_B ){ ∂ theta_0} over {∂z }right□]                  (2a)

[eqn: theta_0 (0,z)=0,~theta_0 (x>=0,0)=1,~ theta_0 (x,1)=0]               (2b)

여기서[eqn: x=X/HPe],[eqn: Pe= U_0 H/alpha_e],[eqn: z=Z/H],[eqn: theta_0 =(T_0 -T_i )/(T_w - T_i )]이며 [eqn: gamma_w]과 [eqn: gamma_B]는 각각 벽면과 벌크에서의 분산계수를 나타낸다. 밑면이 가열되는 다공질층 내에서의 강제대류유동은 식 (2a)에 의해 잘 알려져 있다. Renken과 Poulikakos[2]는 이러한 조건에서 온도분포와 열경계층 두께 및 벽면 근처의 열전달 결과를 보고하였다. 이들의 국지 Nusselt 수[eqn: {N}u_X]는 [eqn: Pe_d]에 따라 감소하지만 Jiang 등[3]에 의해 정의된 [eqn: {N}u_X (=q_w X/(k_e Delta T))]에 의해서는 잘 알려진 것과 같이 분산효과가 열전달을 증가시킨다. 분산효과는 유체와 고체의 온도차, 공극률의 변화와 외력을 고려한다. 하지만 비슷한 열전도도 비를 갖는 이들의 계에서는 이를 무시할 수 있다. 또한 공극률에 따른 속도 경계층의 두께도 온도 경계층 두께의 비해 상대적으로 매우 작으므로 [eqn: Pe_d]에 비례하는 결과만을 고려하였다. 기본유동 하에서의 온도분포는 Fand 등[4] 에 의해 보고된 [eqn: Re_d <=2.3]인 Darcy 영역에서는 [eqn: gamma_w]와 [eqn: gamma_B]가 0인 경우 기본식과 잘 일치하였으며, [eqn: 5<= Re_d <=80]인 Forchheimer 영역에서는 벽면과 벌크의 분산계수의 합으로 나타내어진다. 벌크의 분산계수 [eqn: gamma_B (=0.1[1-exp(-Omega z / d_p )]Pe_d )]는 Cheng 등[5]에 의해 적용된 Van Driest 형태의 지수함수로 나태낼 수 있다. 이식에서 [eqn: Omega=1]인 경우 [eqn: gamma_w]만을 고려한 결과가 비교적 기본유동 하에서의 온도분포를 잘 설명해 주고 있다. 이를 Fig. 2에 나타내었다. 한편 식 (2a)에서 벽면의 분산계수 [eqn: gamma_w (=5.8×10^-3 Pe_d )]는 [eqn: gamma_B =0]인 경우의 [eqn: {N}u_X]는 어느 정도 타당성 있는 결과를 나타내 주고 있다. 이를 Fig. 3에 도시하였다. 이때 국지 Nusselt 수는 벽면근처에서의 분산효과에 따라 약하게 열전달을 증가시키고 있으며 각각의 경우 하류 어느 지점에서 온도가 완전 전개된 경우 열전달이 다른 기구를 보이고 있음이 굽은 곡선형태로 나타나고 있다. 이는 이들이 측정한 온도 경계층 두께가 [eqn: Pe_X <10^4]에서 [eqn: x^1/2]에 비례하는 결과와 수치해석의 결과가 어느 정도 일치하며 계의 물리적 성질을 잘 설명해 주고 있다고 하겠다. 이러한 기본유동 하에서 전파이론을 통해 길이 방향 와류 발생지점을 예측할 수 있다. [eqn: gamma_B =0]인 경우[eqn: zeta =z/x^1/2]의 유사변수를 사용하여 Laplace 변환을 하면 식 (2a)로부터 다음의 해를 얻을 수 있다.

[eqn: theta_0 = sum from n=0 to inf``LEFT [ erf left□ {2n+2-z}over{2root{(1+gamma_w )x}}right□-erf left□ {2n+z}over{2root{(1+gamma_w )x}}right□RIGHT]]          (3)

위와 같이 주어진 기본온도장에서 길이방향 와류(longitudinal vortex)가 발생하는 임계조건을 조사하기 위해 지배방정식에 기본량과 미소 교란량의 합을 대입하여 2차이상의 교란량을 무시하는 선형안정성이론을 적용한다. 교란량의 실제 크기를 고려한 무차원화 과정을 통해 각 변수의 길이를 재환산한다. 이에 따르면 수직방향의 속도교란과 온도교란의 크기의 비는 다음과 같다.

[eqn: left□w_1 over theta_1 right□∼delta_T^2]                                 (4)

여기서 [eqn: delta_T]는 무차원 열경계층 깊이를 나타낸다. 이러한 크기위수 해석 하에 전파이론을 적용하면 불안정성 발생지점에서 교란량들은 폭방향으로 주기적인 구조를 가지므로 교란량들을 정규형식으로 표시할 수 있다.

[eqn: BMATRIX { {v_1^~ (x,y,z) } `# {w_1^~ (x,y,z) }` # {p_1^~ (x,y,z) }`# {theta_1^~ (x,y,z)}`}][eqn: rm ∼][eqn: BMATRIX { {(delta_T /a)}& { v^*}& {(zeta) }# { delta_T^2~}& {w^* }& {(zeta) }# {delta_T~}& { p^*}& {(zeta) }# { }& {theta^* }& {(zeta) }}]exp(iay)            (5)

여기서 □1□과 □*□는 각각 교란량과 교란량의 변환된 진폭함수를 나타내며 □i'와 □a'는 각각 허수와 파수를 나타낸다. [eqn: delta_T <<1]인 경우 위 식을 통해 [eqn: p^* ~와 ~v^*]를 생략하면 다음과 같은 안정성 방정식이 유도된다.

[eqn: left [ (1+gamma_w )(D^2 -a^*2 ) left□D^2 + {zeta}over{2(1+gamma_w )}D^2 -a^*2 right □+ {Ra_D^*}over{1+Re_K} a^*2 D theta_0 right ]w^* =0]   (6a)

[eqn: w^* =theta^* =0~~~for~~~~zeta=0 ~~＊~~zeta→∞]                 (6b)

여기서[eqn: D=d/d□]이고, [eqn: Ra_D^*], [eqn: a^*], [eqn: theta^*]는 열경계층의 길이척도인 [eqn: delta_T]를 이용하여 정의되었고 각각 [eqn: delta_T Ra_D], [eqn: delta_T a], [eqn: rm theta_1]를 나타낸다. 앞에서 얻은 기본 온도식은 벌크의 영향을 고려할 경우 맞바람 차분법(upwind difference method)을 이용하여 수치적으로 구할 수 있으며 안정성 방정식은 주어진 [eqn: x]에 대하여 [eqn: zeta]가 0인 지점에서부터 [eqn: zeta=1/root x]인 지점까지 수치적 적분방법에 의해 얻어 질 수 있다. 양 등[6]에 의해 보고된 이러한 방법은 기존의 □outward shooting'과 외삽법을 통한 수치해석의 임의적인 단점을 보완해 줄 수 있으며 실험결과를 보다 합리적으로 설명할 수 있다.

결과 및 토론

[eqn: gamma_B =0]인 경우 [eqn: Pe_X <10^4]이하일 때 Fig. 4에 나타나 있듯이 분산효과는 계를 안정화 시켜주고 있으며 외력을 나타내 주고 있는 [eqn: Re_K]는 [eqn: Ra_D]와 선형의 관계를 보이고 있다. 속도가 매우 작은 경우 Darcy 영역 하에서 온도분포가 완전 전개된 경우  [eqn: gamma_w =0]에서 잘 알려져 있는 [eqn: Ra_D]가 [eqn: 4pi^2]에 접근하고 있으며 이는 수치해석의 타당성을 설명해 주고 있다. 수치해석을 통해 얻은 임계조건을 오차율 2%내로 다음과 같이 근사 시킬 수 있다.

[eqn: x_c = X_c over HPe □169 □1+1.93gamma_w^1.32 □left( {1+Re_K }over{Ra_D } right)^2]             (7)

이러한 임계조건은 다공질층의 여러 가지 물리적 현상을 설명하는데 유용하게 이용될 것이다.

참고문헌

1. Combarnous, M.A. and Bories, S.A.: Advances in Hydroscience, 14,  231(1975).

2. Renken, K.J. and Poulikakos, D.: Journal of Heat Transfer, 111, 59(1989).

3. Jiang, P.-X., Wang, Z., Ren, P. and Wang, B. X.: Experimental Thermal and Fluid Science 20, 45(1999).

4. Fand, R.M., Kim, B.Y.K., Lam, A.C.C. and Phan, R.T.: Journal of Fluids Engineering, 109, 268(1987).

5. Cheng, P, Hsu, C.T. and Chowdhury, A.: Journal of Heat Transfer, 110, 946(1988).

6. 양대준, 정웅교, 최창균: 화학공학의 이론과 응용, 6, 1921(2000).

Fig. 1. Schematic diagram of basic       Fig. 2. Basic temperature profile.

state in consideration.

Fig. 3. Local Nusselt number.              Fig. 4. Critical distances.