폭 변화를 고려한 제지 공정의 파지 손실 최소화

김동훈, 문일□

연세대학교 화학공학과

Minimization of Trim Loss in Paper Mill Process

Considering Width-Pattern Change

Donghoon Kim and Il Moon□

Department of Chemical Engineering, Yonsei University

서론

일상 생활에서 큰 비중을 차지하고 있으며 컴퓨터의 사용이 증가하면서 더욱 수요가 늘어나고 있는 종이는 그 용도에 따라 여러 가지의 규격과 평량을 필요로 한다. 제지 공장에서는 폭이 넓은 원료 종이(jumbo roll)를 만든 후 이를 규격에 맞는 크기로 잘라 내어 일정한 규격에 맞는 종이를 만들어 낸다. 이러한 제지 공정의 여러 단계 중 재단 공정에서는 여러 종류의 규격을 충족시키기 위해 폭이 일정한 원료 종이 롤을 분할하여 수요에 맞는 규격의 종이를 생산하게 되는데 이때 규격에 맞게 재단함과 동시에 여분의 파지가 발생하게 된다. 이 파지의 발생량을 최소화시키면서 수요자의 주문을 충족시켜야 하는 파지 손실 문제는 제지 공정에서 매우 중요한 문제이다.

파지 손실의 양이 많아지면 그만큼의 초지를 만들기 위한 원료비용, 초지를 코팅하는데 사용된 코팅비용, 각종 에너지 소비 등의 비용이 발생하고, 발생한 파지를 재처리하거나 소각해야함으로 추가 비용이 발생하게 된다. 또한 이러한 파지의 발생이 환경에도 영향을 끼치게 된다. 그렇기 때문에 본 연구에서는 제지 공정에서 MINLP 형태로 모델링 되어있는 파지 손실 문제를 파라미터화 알고리듬을 이용하여 bilinearity를 해결함과 동시에 제약식의 수를 줄여 수렴하지 않는 문제의 최적의 해를 구하였다. 또한, jumbo roll의 폭을 패턴화 함으로써 기존의 연구보다 파지 손실을 더 최소화시킨 결과를 얻었다.

본론

1. 제지 공정

일반적으로 제지 공정은 펄프에서 종이를 만드는 초지공정(paper machine	process), 종이에 코팅재를 입힘으로 일정한 수준의 광택을 유지하게 하는 코	팅공정(coating process), 만들어진 종이를 일정한 길이로 감는 롤링공정	(rewinding process), 롤링공정에서 만들어진 원료 종이 롤을 규격에 맞게 자	르는 재단공정(sheet cutting process), 규격에 맞게 잘라진 종이를 포장하는	포장공정(roll wrapping/ream wrapping process)의 단계로 구성되어 있다.

그림 . 제지 공정(paper mill process)

2. 파지 손실 문제

그림 . 파지 손실(trim loss)

그림 2와 같이 여러 종이를 생산하기	위해 정해진 절단 패턴에 따라 종이를	자르게 되는데, 원료 종이에서 절단 패	턴에 따라 규격에 맞는 종이를 잘라내	고 나면 여분의 파지가 발생하게 된다.	이때, 원료 종이의 크기는 일정하고 생	산되는 종이의 폭의 합은 수요에 따라	바뀌므로 파지의 양도 절단하는 패턴에	따라 달라지게 된다. 이 파지는 다시	에너지를 투입하거나 소각하여 재활용	공정을 거쳐야 하므로 이러한 파지의	발생량을 최소화하면서 수요자의 주문	을 충족시켜야 하는 파지 손실(trim loss)은 제지 공정에서 경제적, 환경적으로	매우 중요한 문제이다.

3. 폭 변화를 고려한 파지 손실 최소화 방법

3.1 제지공정의 MINLP 모델

최근에는 MINLP 기법을 이용하여 제지 공정의 파지 손실 문제를 해결하	고자 하는 노력이 이루어지고 있다. Harjunkoski와 Westerlund는 제지 공정	중 재단기(sheet cutter)에서의 파지 손실을 언급하였고, 이러한 재단기에서	의 파지 손실을 최소화하기 위하여 다음과 같은 MINLP 형태로 구성하였다.

[eqn: ~min LEFT{{SUM from {{j}=1} to J }(R_j CDOT m_j ~+~C_j CDOT y_i )} RIGHT}]	(1)

subject to

[eqn: {SUM from {{i}=1} to I}w_j CDOT n_ij ~-~W_{j,max} ~<=~ 0]	(2)

[eqn: -{SUM from {{i}=1} to I}w_j CDOT n_ij ~+~W_{j,max}~-~e_j} ~<=~ 0]	(3)

[eqn: {SUM from {{i}=1} to I} n_ij ~-~N_max ~<=~ 0]	(4)

[eqn: ~y_i ~-~m_j ~<=~ 0]	(5)

[eqn: ~m_j ~-~ M_j CDOT y_j ~<=~ 0]	(6)

[eqn: ~j ~=~ 1, . . . , J]

[eqn: ~n_{i,order} ~-{SUM from {{i}=1} to I}m_j CDOT n_ij ~<=~ 0]	(7)

[eqn: ~i ~=~ 1, . . . , I]

[eqn: ~m_j ,~n_ij ~IN ~Z^+]

[eqn: ~y_j ~IN ~LEFT { 0,1RIGHT }]

3.2 파라미터화

먼저 nij에 대한 제약식 (2), (3), (4)에 대하여 그림 3의 알고리듬에 이용	하여 가능한 모든 nij 집합을 파라미터화하였다. 이러한 방식으로 nij의 집	합	들을 구하게 되면 제약식 (7)은 bilinearity를 잃게되고 이로 인하여 이 문제	는 MINLP 문제에서 MILP 문제로 바뀌게 됨을 알 수 있다.

그림 . 파라미터화 알고리듬

3.3 폭의 변화를 패턴화 하는 방법

폭을 패턴화 한다는 것은 기존의 방법보다는 더 많은 대량의 수요가 있	을 경우를 고려한 것이다. jumbo roll에서 기존의 최대폭을 가진 하나의 롤	만을 생산하는 것이 아니고 3∼4 종류의 jumbo roll의 생산을 의미하는 것	이다. 아래의 예제에서 jumbo roll의 사용 가능한 최대폭이 3500mm라고 하	면 jumbo roll을 3500mm, 3200mm, 2900mm 이와 같이 3가지 형태의 폭을	갖는 패턴 형태로 놓고 필요한 수요에 따라 가능한 패턴을 파라미터화하여	최대폭과 함께 최소의 파지 손실을 내는 jumbo roll의 종류와 패턴의 형태	를 얻어내 파지의 손실을 최소화하는 것이다.

적용예제

표 . 예제의 규격과 수요량

product(i)	number	width(mm)
1	38	1100
2	65	1200
3	41	1430
4	52	1600
5	32	1730

표 1은 각각 다른 크기의 5가지	종이의 규격과 수요량을 나타낸 것	이다. 위의 주문에 대한 파라미터들	을 jumbo roll 폭의 변화를 고려하여	구한 패턴의 형태는 다음과 같다.(표	2)

표

표 . 예제 수요량에 대한 패턴

j	r	n1,jr	n2,jr	n3,jr	n4,jr	n5,jr	width
1	1	1	2	0	0	0	3500
2	1	0	0	0	0	2	3460
3	1	2	1	0	0	0	3400
6	2	0	0	0	2	0	3200
7	2	0	0	1	0	1	3160
10	3	0	0	2	0	0	2860
11	3	1	0	0	0	1	2830

3은 기존의 연구와 비교, 분석	한 결과이다.

표 . 기존 연구와 비교

jumbo roll(mm)	trim loss	CPU-time
3500(r1)	144,370	0.22
3200(r2)	290,750	0.10
2900(r3)	72,180	0.83
r1&r2	64,780	4.42
r1&r3	65,100	161.45
r2&r3	72,180	2.47

결론

본 연구에서는 MINLP 문제를 해결하는 과정에서 두 정수 변수의 곱의 형태로 존재하는 제약식으로 인한 bilinearity는 문제의 비선형성과 비볼록성을 주도하게 됨으로 최적 값으로의 수렴이 어려워진다. 이것을 먼저 한 변수를 제약식 내에서 가능한 모든 조합의 집합으로 파라미터화한 후 그 파라미터를 바탕으로 만들어진 MILP 문제를 최적화 패키지를 이용하여 최적화 함으로써 문제에 대한 최적 해를 구함으로 문제를 해결하였다.

또한 기존에 고려하지 않은 jumbo roll의 폭을 패턴화 함으로써 예제에서의 결과를 비교해 보면 한가지(2900mm) jumbo roll을 사용할 때는 CPU-time이 0.83(s)이고, 두 가지(3500mm와 3200mm)를 동시에 사용했을 때는 4.42(s)였지만 반면에 trim loss는 10%정도 줄어들었음을 알 수 있었다. 이와 같은 jumbo roll의 패턴화 방법으로 주어진 문제에 대한 파지 손실을 기존의 방법보다 더 최소화했음을 결과적으로 얻을 수 있었다.

기호설명

i: 제지 종류, j: Cutting 패턴, Rj: Roll의 가격, Cj: 패턴 변화시 동력비

r: jumbo roll의 종류, yi: 패턴 결정 후 이산변수, wi: 제지의 폭

참고문헌

1. 문일, 이인범, 정재학, 이호경, □화학공정 생산 및 일정계획□, 아진, 1999.

2. Westerlund, T. Harjunkoski, I. and Isaksson, J., "Solving a production optimization problem in a paper-converting mill with MILP," Computers and Chemical Engineering, Vol. 22, pp. 563-570, 1998.

3. Porn, R., Harjunkoski, I. and Westerlund, T., "Convexification of different classes of non-convex MINLP problems," Computers and Chemical Engineering, Vol. 23, pp. 439-448, 1998.

4. Harjunkoski, I., "Application of MINLP methods to a scheduling problem in the paper-converting industry", PhD thesis, 1997.

5. Floudas, C. A., "Nonlinear and Mixed-Integer Optimization, Fundamentals and Applications", Cambridge University Press, New York, 1995.

6. 나성훈, 고대호, 문일, □MINLP를 이용한 제지 공정의 파지 손실 최소화□, 제어자동화시스템 공학회, 2000.