비선형 품질 추정 모델이 이용된 회분 공정을 위한

Integreated 품질과 Profile 제어 기술

김형수, 진인식, 이광순, 이재형*

서강대학교 화학공학과, Purdue대학교 화학공학과*

Integrated Qualiyt and Profile Control Technique for Batch

Processes using Nonlinear Quality Inference Model

Hyuong Soo Kim, Insik Chin, Kwang Soon Lee, Jay H. Lee*

Department of Chem. Eng., Sogang University,

School of Chem. Eng., Georgia Institue of Tech.

서론

회분 공정의 운전에서 중요한 특징으로 일정한 시간 구간 내에서 공정출력변수가 특정하게 주어진 기준 궤적을 따라가도록 하는 추적제어 하에서 이루어지는 것이다. 또한 회분 공정의 품질변수는 연속식 공정과는 달리 한 회분의 운전이 끝난 후에야 측정이 가능하다는 특징이 있다. QBMPC(Quality control combined Batch Model Predictive Control)는 MPC(Model Predictive Control)처럼 회분 공정에서 추적제어와 끝점의 품질 제어를 수행할 수 있다. QBMPC는 실시간 예측 제어와 함께 회분측면의 정보를 feedback할 수 있는 특징이 있다. 근본적인 QBMPC의 품질 추정 모델은 품질  변수의 목표 값 주위에서 조성된 linear regression model에 기초를 두고 있다. 또한 비선형 구조의 함수는 공정변수와 끝점 품질 변수의 상관관계에 의해 결정된 품질 추정모델로 사용한다. 본 연구에서는 끝점의 품질 변수는 최적 운전 조건 주위에서 결정되는 것이 일반적이기 때문에 품질 추정 모델은 이차항으로 고려되어야 한다고 제안하였다.

Stochastic State Space Model의 전개

Tracking output에 대한 모델

회분 공정의 동적인 것은 작은 궤적에서 운전되는 동안 linear stochastic state space model 의 시변수에 의해 묘사될 수 있다. Tracking Output을 알기 위해 모델을 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: x_{k} ^{y} (t+1) &=& A^{y}(t)x_{k} ^{y}(t)+B^{y}(t)u_{k}(t)+v_{k} ^{y}(t)# y_{k}(t) &=& C^{y}(t)x_{k} ^{y}(t)+w_{k} ^{y}(t),&t=0,1,□, N]

여기서 {vky(t)}와 {wky(t)}는 연속 시간에서 i.i.d. (independent and identically distributed)이다. 그리고 k 첨자는 회분을 의미한다. 이러한 것을 white noise라고 하고 이 모델을 white noise model이라고도 한다.

[eqn: v_{k}^{y}(t) &=& {{bar v}_{k}}^{y}(t)+{{hat v}_{k}}^{y}(t) &,& {{bar v}_k}^y-{{bar v}_k-1}^y (t)={n_k}^y (t)# w_{k}^{y}(t) &=& {{bar w}_{k}}^{y}(t)+{{hat w}_{k}}^{y}(t) &,& {{bar w}_k}^y-{{bar w}_k-1}^y (t)={m_k}^y (t)]

여기서 {[eqn: {hat v_k}^y](t)}, {[eqn: {hat w_k}^y](t)}, {nky(t)}와 {mky(t)}은 모두 시간 t와 회분수인 k에 대해 i.i.d.이다.[eqn: {hat v_k}^y](t),[eqn: {hat w_k}^y](t)는 한회분이 끝나고 나타나는 오차이고,[eqn: {bar v_k}^y](t),[eqn: {bar w_k}^y](t) 은 미래 회분의 모든 오차를 표현한 것이다. 위 1식을 다음 두 부분으로 나누면 3식이 된다.

[eqn: barx_{k} ^{y} (t+1) &=& A^{y}(t)barx_{k} ^{y}(t)+B^{y}(t)u_{k}(t)+barv_{k} ^{y}(t)# bary_{k}(t) &=& C^{y}(t)barx_{k} ^{y}(t)+barw_{k} ^{y}(t)]

3

[eqn: hatx_{k} ^{y} (t+1) &=& A^{y}(t)barx_{k} ^{y}(t)+hatv_{k} ^{y}(t)# haty_{k}(t) &=& C^{y}(t)hatx_{k} ^{y}(t)+hatw_{k} ^{y}(t)]

4

당연히 [eqn: y_k (t) =bary_k (t) +haty_k (t)] 이다.

식 4에서 회분에 대한 차를 구해보면 다음과 같이 표현할 수 있다.

[eqn: Delta barx_{k} ^{y} (t+1) &=& A^{y}(t)Deltabarx_{k} ^{y}(t)+B^{y}(t)Deltau_{k}(t)+n_{k} ^{y}(t)# bary_{k}(t) &=& C^{y}(t)Deltabarx_{k} ^{y}(t)+{bary} _k-1 +m_{k} ^{y}(t)]

5

여기서 [eqn: Deltabarx_k ^y □atop= barx_k ^y -barx_k-1 ^y], [eqn: Deltau_k □atop= u_k -u_k-1]이다. [eqn: bary_k (t)]을 estimate 된 [eqn: bary_k-1 (t|t)](t 시점에서 k-1번째 회분에서의 Kalman filter에 의한 값이다)로 바꾸어서 식 4와식 5를 식 6과 같이 조합할 수 있다.

[eqn: BMATRIX { { hatx_k ^y (t+1)}# {Delta barx_k ^y (t+1) } } &=&BMATRIX{{A^y (t)}&{0}#{0}&{A^y (t)}} BMATRIX { {hatx_k ^y (t) }# {Deltabarx_k ^y (t) } } +BMATRIX{{0}#{B^y (t)}}Deltau_k (t) +BMATRIX{{haty_k ^y (t)}#{n_k ^y (t)}} ## y_k (t)-bary_k-1 (t|t) &=&bmatrix{{C^y (t)}&{C^y (t)}}bmatrix{{hatx_k ^y (t)}#{Deltabarx_k ^y (t)}}+hatw_k ^y (t) +m_k ^y (t)]

6

식 6을 간단하게 다시 쓰면 아래 식과 같다.

[eqn: z_k ^y (t+1) &=& PHI^y (t)+z_k ^y (t) +Gamma^y (t) Delta u_k (t)+zeta_k ^y (t)# y_k (t) - bary_k-1 (t|t) &=& SUM &^y (t)z_k ^y (t) +□_k ^y (t)]

7

Secondary output에 대한 모델

만약 입력조작 변수가 2차변수로서 중요하게 영향을 미친다면 식 1을 아래와 같이 바꾸어야 한다.

[eqn: x_{k} ^{s} (t+1) &=& A^{s}(t)x_{k} ^{s}(t)+B^{s}(t)u_{k}(t)+v_{k} ^{s}(t)# s_{k}(t) &=& C^{s}(t)x_{k} ^{s}(t)+w_{k} ^{s}(t)]

8

[eqn: z_{k} ^{s} (t+1) &=& Phi^{s}(t)z_{k} ^{s}(t)+Gamma^{s} (t)Deltau_{k}(t)+zeta_{k} ^{s}(t)# s_{k}(t)-{bars}_k-1 (t|t) &=& sum&^s (t)z_{k} ^{s}(t)+□_k ^y (t)]

9

품질 변수에 대한 모델

끝점에서의 품질은 공정 변수의 회분전체의 history에 영향을 받는다. 품질 변수는 tracking output, secondary output과 input profiles의 선형 조합으로 표현할 수 있다. Bias 효과를 제거하기 위해서 regression coefficients는 최소 자승법을 사용하여 differenced variables을 결정할 수 있다.

[eqn: q_k = SUM from { {i }=0} to N D_1 ^q (i) y_k (i) + sum from{{i}=0} to N D_2 ^q (i) s_k(i) + sum from {{i}=0} to N-1 B_1 ^q (i) Deltau_k (i)]

10

여기서 [eqn: Delta u_k ^2 (·)] 은 [eqn: Delta u_k (·)]  이차항들로 구성된 벡터로 정의된다. k와 k-1인 연속 회분의 차를 취하면 회분에서의 품질 변수의 차는 아래와 같다.

[eqn: Delta q_k = sum from {{i}=0} to N D_1 ^q (i) Delta y_k (i) +sum from {{i}=0} to N D_2 ^q (i) Delta s_k (i) + sum from {{i}=0 } to N-1 B_1 ^q (i) Delta u_k (i) #+ sum from {{i} =0} to N-1 B_2 ^q (i)diag{u_k (i) + u_k-1 (i) } Delta u_k (i) +d_k ^q]

11

여기서

[eqn: diag{(u_k (i) +u_k-1 (i))}=BMATRIX { {u_1,k (i) + u_1,k-1 (i)}& {0}& {…}&{0}# {0}&{ u_2,k (i) + u_2,k-1 (i)}& {…}&{0}# {□}&{… }& {…}& {□} # {0}&{…}&{0}&{u_m,k (i) +u_m,k-1 (i)}}].

조작변수의 수는 m이다.

[eqn: d_k ^q Delta atop= n_k ^q -n_k-1 ^q]

좀 더 적절한 stochastic state space 모델을 위해 품질 변수인 qk를 두 부분으로 나눈다. 여기서 [eqn: hat q_k]는 각 회분에 대한 random하게 변하는 변수이고 [eqn: bar q_k]는 회분측면에서 강한 연관성 있게 변화하는 변수이다.

[eqn: q_{k} Delta atop = bar q_k +hat q_k]

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여기서 [eqn: hat q_k] 은 [eqn: hat x_k ^y (t)]와 [eqn: bar x_k ^y (t)] 그리고 회분측면의 random zero-mean 분포를 더한 것에 영향을 받는 것 중 하나로 고려되고.[eqn: hat q_k]은 uk(t) 위 조건에서 항이 더해진다.

[eqn: hat q_k &Delta atop =& sum from {{i}=0} to N A_1 ^q (i) hat x_k ^y (i) + sum from {{i}=0} to N A_2 ^q (i) hat x_k ^s (i) +hat r_k ^q]

13 & 14

[eqn: bar q_k Delta atop = sum from {{i}=0} to N A_1 ^q (i) bar x_k ^y (i) + sum from {{i}=0} to N A_2 ^q (i) bar x_k ^s (i) +sum from {{i}=0} to N-1 B_1 ^q (i) u_k (i) +sum from {{i}=0} to N-1 B_2 ^q (i) Delta u_k ^2 (i) +bar r_k ^q]

식 14에서 연속적인 두 회분의 차를 구하면

[eqn: bar q_k - barq_k-1 = sum from {{i}=0} to N A_1 ^q (i) Deltabar x_k ^y (i) + sum from {{i}=0} to N A_2 ^q (i) Deltabar x_k ^s (i) +sum from {{i}=0} to N-1 B_1 ^q (i) Deltau_k (i)# +sum from {{i}=0} to N-1 B_2 ^q (i) diag(u_k (i)+u_k-1 (i) )Delta u_k (i) +Deltabar r_k ^q]

15

여기서 [eqn: Delta bar r_k ^q Delta atop = barr_k ^q -barr_k-1 ^q]은 zero mean i.i.d로 가정한다.

다시 [eqn: hat q_k] 와 [eqn: bar q_k]로 관계된 state 변수들을 정의 해보면 아래와 같다.

[eqn: hat x_k ^q (t) Delta atop =& sum from {{i}=0} to t-1 A_1 ^q (i) hat x_k ^y (i) + sum from {{i}=0} to t-1 A_2 ^q (i) hat x_k ^s (i) +hat v_k ^q# Delta bar x_k ^q (t) Delta atop =& sum from {{i}=0} to t-1 A_1 ^q (i) Delta bar x_k ^y (i) + sum from {{i}=0} to t-1 A_2 ^q (i) bar x_k ^s (i)# &+sum from {{i}=0} to i-1 B_2 ^q (i) diag(u_k (i) +u_k-1 (i)) Deltau_k (i) + n_k ^q]

16

위 식을 state space 모델로 바꾸면 다음 식과 같다.

[eqn: hat x_k ^q (t+1) &=& hat x_k ^q (t) +A_1 ^q (t) hat x_k ^y (t) + A_2 ^q (t) hatx_k ^s (t)]

17

[eqn: Delta bar x_k ^q (t+1) &=&Deltabar x_k ^q (t) +A_1 ^q (t) Deltabarx_k ^y (t) + A_2 ^q (t) Deltabarx_k ^s (t)+[B_1 ^q (t) +B_2 ^q (t) diag(u_k (t) +u_k-1 (t))]Delta u_k (t)# &□& Deltabar x_k ^q (t) +A_1 ^q (t) Deltabarx_k ^y (t) + A_2 ^q (t) Deltabarx_k ^s (t)+[B_1 ^q (t) +2B_2 ^q (t) u_k-1 (t))]Delta u_k (t)]

18

식 19에서 원래 선행 회분의 입력 신호 주위에서의 원래 비선형 관계를 근사할 수 있다. Iterative learning control의 개념 관점에서 보면 선행된 회분의 정보는 최근 회분의 운전에 이용되지만 선행회분의 입력신호 근사는 좀 더 중요해 보인다.

품질 state space 모델의 출력인 [eqn: q_k (t)]를 [eqn: barq_k (t)]와 [eqn: hat q_k (t)]로 나누면 아래와 같다.

[eqn: bar q_k (t) - barq_k-1 &Delta atop =& SUM from { { i}=0} to N A_1 ^q(i) Deltabarx_k ^y (i) + sum from {{i}=0} to N A_2 ^q (i) Deltabarx_k ^s (i) +sum from{{i}=0} to t-1 B^q (i) Delta u_k (i) +m_k ^q #&=& Deltax_k ^q (t) +sum from{{i}=t} to N A_1 ^q (i) Delta barx_k ^y (i) + sum from {{i}=t} to N A_2 ^q (i) Deltabar x_k ^s (i) + m_k^q]

19

여기서

[eqn: B^q (t) = B_1 ^q(t) +2B_2 ^q (t) u_k-1 (t)]

20

같은 방법으로 [eqn: hat q_k (t)] 도 다시 쓰면 아래 식과 같다.

[eqn: hat q_k (t) = hat x_k ^q (t) + sum from {{i}=t} to N A_1 ^q (i) hat x_k ^y (i) + sum from {{i}=t} to N A_2 ^q (i) hat x_k ^s (i) +hat w_k ^q]

21

식 19와 21식에서 미래 state의 합은 식 7과 식 9에서 자발적으로 응답한 것이다.

선형 함수인 [eqn: z_k ^y (t)]와 [eqn: z_k ^s (t)]로 다시 표현하면 다음 식과 같다.

[eqn: z_k ^q (t) = bmatrix {hatx_k ^1 (t)# Delta {barx_k} ^q (t)}]

22

[eqn: {barq}_k-1 □ {barq}_k-1 (N|N)]로 근사하면 다음과 같은 모델을 구성할 수 있다.

[eqn: z_k ^q (t+1) &=& z_k ^q (t) + Phi_1 ^q (t)z_k ^y (t)+ Phi_2 ^q (t)z_k ^s (t)+Gamma^q (t) Deltau_k (t)# q_k (t) - {bar q}_k-1&=& z_k ^q (t) + sum&_1&^q (t)z_k ^y (t)+ sum&_2& ^q (t)z_k ^s (t)+□_k ^q (t)]

23

Literature Cited

1. Chin, I. S.; Lee, K. S.; Lee, J. H. A Technique for Integrated Quality Control, Profile Control and Constraint Handling for Batch Processes. Ind. Eng. Chem. 2000, 39, 693

Acknowledgement

본 연구는 한국 과학 재단과 정부의 BK21 사업의 지원금과 National Science Foundation's Young Investigator Program(USA) 지원금에 의한 것입니다.