일정 열속으로 가열되는 경사진 판 위의 유체층에서의 와류 불안정성

함연식, 정태준, 최창균

서울대학교 공과대학 응용화학부

Vortex Instability over an Inclined Plate Heated

with Uniform Heat Flux

Y.S. Ham, T.J. Chung and C.K. Choi

School of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

경사진 평판위의 유체층을 밑면에서 가열하면 유체의 상하 밀도차로 인한 자연대류가 특정된 거리에서 발생한다. 다공질층에서의 운동식은 유속이 느릴 때는 Darcy법칙을 따르지만 투과도와 공극률이 커질 때 Darcy법칙에서 벗어난다. 이러한 경우에는 일반적으로 Forchheimer 유동식을 따른다. Chang과 Jang[1]은 수평 다공질층계, Lee 등[2]은 등온으로 가열되는 경사판 다공질층계에 대해 관성효과를 고려하여 대류 불안정성을 해석하였다. 본 연구는 Lee 등의 연구에 이어 전파이론을 근거로 경사판을 일정한 열속으로 가열할 때 와류 형태의 2차대류 발생지점을 예측 하였다.

이론

본 연구에서는 Fig. 1과 같이 정상상태 경계층 흐름을 보이는 계에서 밑면이 일정열속으로 유지되는 경우 관성의 영향을 고려하면 다음과 같은 1차 유동식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm { PARTIAL u_0} over { PARTIAL x } + { PARTIAL w_0 } over { PARTIAL z } =0]                           (1)

[eqn: rm LEFT ( nu over K + b` u_0 RIGHT )` u_0` = - { 1} over { rho _ INF } { PARTIAL p_0} over { PARTIAL x }]                  (2)

[eqn: rm 0 = - { 1} over { rho _ INF } { PARTIAL p_0} over { PARTIAL z} + g beta sin gamma ` (T_0 -T_ INF )]                  (3)

[eqn: rm u_0 { PARTIAL T_0} over { PARTIALx } +w_0 { PARTIAL T_0} over { PARTIAL z }= alpha _0 { PARTIAL^2 T_0 } over { PARTIAL z^2 }]                    (4)

위의 1차유동식에 사용한 운동식은 Darcy 영역에서 벗어나 관성의 영향을 고려한 Forchheimer 유동모델이며 [eqn: rmu_0],[eqn: rmw_0],  g,  k, [eqn: beta], [eqn: gamma], [eqn: nu],[eqn: rmalpha_0], K와 b는 각각 주 흐름 방향 기본속도, 횡류 방향 기본 속도, 중력, 유효열전도도, 열팽창계수, 경사각, 동점도, 열확산 계수, 투과도와 관성계수이다. 경계층 가정을 적용하고 자연대류에서의 속도장은 온도장에 의해서 형성되므로 Rukenstein[3]에 의하여 제안된 바와 같이 크기 위수 해석을 통해 다음과 같은 무차원 변수들을 도입하였다.

[eqn: rmu_0`=`alpha_0 over x hat Ra`_qx`^{1/2}`F']                               (5)

[eqn: rmw_0`=`alpha_0 over 2x hat Ra`_qx`^{1/4}(zeta`F'-rmF)]                       (6)

[eqn: rmtheta _0`={T_0`-T_inf}over{{q_w`x} / k}`{rmhatRa`_qx`}^1/4]                   (7)

[eqn: rm{zeta left(= z over x`LEFT ( Ra_qx sin gamma RIGHT ) ^1/4 right)sim z over delta_T`}]                 (8)

[eqn: rmPSI=][eqn: rm{ alpha _0} LEFT ( Ra_qx`sin gamma RIGHT ) ^1/4`F(zeta)}]                  (9)

[eqn: rm{Ra`_qx`={g beta K x^2 q_w`} over {alpha_0 nu k}}]                        (10)

[eqn: rm{{hatRa}_qL}=Ra_qL sin gamma]                             (11)

[eqn: zeta]는 열경계층 깊이[eqn: rmdelta_T]에 기준한 유사변수이며  Darcy-Rayleigh수[eqn: rmRa_qx]는 계를 불안정하게 하는 부력에 관계되는 인자와 열전도와 같은 안정한 인자 사이의 균형을 나타내는 중요한 무차원수이다. 윗 식들을 기본 유동식에 대입하여 무차원화된 기본 유동식은 다음과 같다.

[eqn: rm {LEFT ( 1+{2hatFr}_q}^1/2 {F'} RIGHT ) {F''}= 1over2 zeta ` theta _0 '- 1over2 theta _0]              (12)

[eqn: rm {theta _0 ''}= - 1over2 F{theta _0 '} + { 1} over {2 } F' theta _0]                      (13)

[eqn: rm hatFr`_{ q}` = {g`beta`b^2` alpha _0`K^3`q_w}over{ nu^3`k }sin gamma]                    (14)

B.C.'s:    [eqn: rm F(0)=D theta _0 (0)+1=F' ( INF )= theta _0 ( INF )=0]          (15)

선형 안정성 이론을 적용하여 2차 자연대류 발생지점에서 기본 유동과 무한소의 교란량이 중첩된 교란 유동에 대해 2차 누승 이상의 항들을 무시한다. 주 흐름 방향으로 길이 L, 열 경계층 두께 [eqn: rmdelta_T]를 근거로 무차원 변수들을 도입하였다.

[eqn: rm (tildex ,tildey ,tildez )= { 1} over {L } (x{,{hatRa}_qL}^1/4 y{,{hatRa}_qL}^1/4 z)]                (16)

[eqn: rm ({tildeu}_0 {,tildew}_0 )= { L} over { {alpha _0 {hatRa}_qL}^1/2} (u_0 {,{hatRa}_qL}^1/4 w_0 )]                (17)

[eqn: rm ({tildeu}_1 {,tildev}_1 {,tildew}_1 )= { L} over { alpha _0 {hatRa}_qL`^3/4} (u_1 {,{hatRa}_qL}^1/4 v_1 {,{hatRa}_qL}^1/4 w_1 )]     (18)

[eqn: rm theta _1 = { g beta` KL`sin gamma} over { nu` alpha _0 } T_1]                              (19)

[eqn: rm {tildep}_1 = { K} over {{ mu` alpha _0 {hatRa}_qL}^1/4} p_1]                              (20)

무차원 열경계층 두께[eqn: rm bardelta _T`]를 사용한 무차원 변수들을 도입하면 정규형식으로 교란량들을 표시할 수 있다.

[eqn: rm BMATRIX { {{tildeu}_1~~ }# {{tildev}_1````` }# {{tildew}_1`````` }# {{tildep}_1```` }# { theta _1 `` } } sim BMATRIX{ {bardelta_T^3```````````````````` u^* ( zeta )}# {(bardelta_T /tildea )`` v^* ( zeta ) }# {bardelta_T^2 `````````````````w^* ( zeta ) }# {bardelta_T^3```````````````````` p^* ( zeta ) }# {``````````````````````````````theta ^* ( zeta ) } `} exp(rm i `tildea` tildey )]           (21)

실질적인 열전달이 일어나는 열경계층 두께를 길이척도의 기준으로 하여 지배방정식의 모든 요소가 주 흐름방향 거리에 대한 동일위수를 갖도록 유사변환시켜준다.[eqn: rmtildea]는 무차원화된 파수이고 상첨자 *는 교란량의 변환된 진폭함수를 나타내며 [eqn: rm p^*]와 [eqn: rmv^*]를 생략하면 다음과 같은 안정성 방정식이 유도된다.

[eqn: rm {LEFT (1+{hatFr}_q}^1/2 { | boldtildeu}_0 ` | RIGHT )`u^* = {theta ^* } over {{hatRa}_qx`^3/4 tan gamma }]                  (22)

[eqn: rm {LEFT (1+{hatFr}_q}^1/2 { | boldtildeu}_0 ` | RIGHT )`(D^2 -{a^*}^2 )w^* {=LEFT (1+{hatFr}_q}^1/2 { | boldtildeu}_0 ` | RIGHT )LEFT ( zetaover2 D^2 u^* -Du^* RIGHT )]

[eqn: rm {{+ LEFT ( hatFr}_q}^1/2 {D | boldtildeu}_0 ` | RIGHT ) LEFT ( { zeta } over {2 } Du^* - 3over2 u^* -Dw^* RIGHT ) -{ {a^*}^2 theta ^*} over {{{hatRa}_qx}^1/2 }]                 (23)

[eqn: rm ` D^2 theta ^* -{a^*}^2 theta ^* = - { 1} over {2 } F `D theta ^*][eqn: rm {{+hatRa}_qx} LEFT ( w^* D theta_0 - { zeta } over {2 } u^* D theta_0 + 1over2 u^* theta_0 )]       (24)

B.C.'s:[eqn: rm {tildeu}^* ={tildev}^* ={tildew}^* =D theta^* =0] [eqn: rm zeta =0]                 (25)

[eqn: rm {tildeu}^* ={tildev}^* ={tildew}^* =theta^* =0]   [eqn: rm zeta``` -> INF]

여기서 D=d/d[eqn: zeta]이고, [eqn: rma^*`=tildea bardelta_T],[eqn: rmhatRa`_qx`=hatRa`_qL`bardelta_T`^{4}]를 나타낸다. 앞에서 구한 안정성 방정식을 □outward shooting"방법과 외삽법을 사용하여 [eqn: rmhatFr`_q],[eqn: rmgamma,``a^*`,``hatRa`_qx]에 대한 고유치 문제로 풀 수 있다.

결과 및 토론

일정 열속계에서 수행한 본 연구의 결과를 정리하면 다음과 같다. Fig. 2는[eqn: rmtheta`^*]가 아닌 일정열속 조건을 만족시키는 경계조건[eqn: rmD theta^*]=0을 적용하여 Darcy흐름에서 안정성곡선이다. Fig. 4는 Chang과 Jang[1]이 고려한 경계조건의 모순을 보여주는 안정성 곡선이다. 앞서 말한바와 같이 그들이 고려한 온도교란 초기조건을 적용하여 구한 Rayleigh값과  본 연구에서 제시한 경계조건[eqn: rmD theta^*]=0을 이용한 Rayleigh값을  Forchheimer 흐름에서 비교하고   있다. 일정 열속 경계조건을 만족시키는 계가 더 불안정하게 해석되었다. 이 같은 경향은  벽면에서 온도차이, [eqn: rmAx^n]을 이용하여 열속조건을 구하였지만 일정 열속 경계조건은 잘못 해석하였기 때문이다. Fig. 3은 Forchheimer수[eqn: rm hatFr`_{q}]가 커짐에 따라 계가 더 안정한 것을 볼 수 있다. 이러한 경향은 Chang과 Jang[1]의 결과와는 반대의 경향을 보이고 있다. 이 결과는 경계조건의 영향과는 상관없고 운동방정식에서 Forchheimer식을 적절하게 사용하지 못했기 때문이다. 관성의 영향이 크면 열분산 효과를 고려해야 하지만 본 연구에서 타당한 경계조건을 얻기 위해 관성의 영향만 고려하였다.

참고문헌

1. Chang, W.J. and Jang, J.Y., Int. J. Heat Mass Transfer, 32, 541(1989).

2. Lee, D.H., Yoon, D-.Y. and Choi, C.K., Int. J. Heat Mass Transfer, 43,

2895(2000).

3.  Ruckenstein, E.A., AIChE J., 26, 850(1980).

Fig. 1. Schematic diagram considered         Fig. 2. Marginal stability curve

here.                                        in Darcy flow.

Fig. 3. Inertia effect on stability curve        Fig. 4. Comparison of boundary

in Forchheimer flow.                         condtions.