복잡한 CPFS에서의 동적 열전달을 시뮬레이션하기위한 SOR과 FEM의 사용

윤종필, 권성필1, 조재규, 홍현진, 윤인섭*

서울대학교 응용화학부, 서울대학교 화학공정신기술연구소1

esyoon@pslab.snu.ac.kr

The Application of SOR and FEM to Simulate heat transfer phenomena

within a complex CPFS (Cable Penetration Fire Stop) systems

Jong-Pil Yoon, Seong-Pil Kwon1, Jae Kyu Cho, Hyun-Jin Hong, En Sup Yoon*

School of Chemical Engineering, Seoul National University

Institute of Chemical Processes, Seoul National University1

esyoon@pslab.snu.ac.kr

서론

위험관리란 잠재적인 중대한 위험요소의 규모를 결정하고 기존의 공장이 가지고 있는 능력, 안전시스템 및 이러한 위험들을 예방하고 통제하는 것을 말한다. 원자력 발전소의 급격한 증가로 인하여 원자력 발전소 운전의 안전성 문제에 대한 사회적인 관심이 증대되고 있는 시점이다. 특히 운전중인 원자력발전소 내부의 화재 사고는 원자력발전소 제어시스템에 급속히 전파되어 중대 사고를 유발시킬 수 있으므로 중요하다. 또한 성능위주 시험방법인 기존의 ASTM E-119가 1975년 미국의 Browns Ferry 원자력발전소 사고 이후 ASTM E-814 또는 UL-1479로 바뀌게 되었다. 일반적으로 3,000에서 10,000개에 이르는 케이블들이 원자력발전소 구획 사이에 있는 방화시스템을 통과한다. 케이블의 수가 매우 많으므로 기존의 방화시스템을 새로운 ASTM E-814을 적용시켜 성능위주 시험을 실시하는 대에는 많은 한계가 존재하게 된다. 따라서 원자력 발전소 구획들 사이에 지어진 방화시스템을 평가할 수 있는 simulator를 개발하기 위해서 비정상상태에서의 열전도를 고려해 주어야한다.

본 연구는 케이블 관통부 충전 시스템에서 일어나는 열전도 현상을 경계조건(boundary condition)이 세워진 parabolic한 편미분방정식(partial differential equation)으로 구현하였다. 편미분방정식은 연속과완화법(SOR: Sequential Over-Relaxation)을 사용하여 유한 요소로 이루어진 동일 축 상의 불연속적인 점에 있는 일련의 상미분방정식들로 전환된다. 다음 단계로는 FEM을 적용하여 각 요소에 해당하는 결과로서 상미분방정식들을 풀게 된다. 일련의 절차를 거쳐 CPFS 시스템을 해석하게 된다.

이론

1. 수학적 모델

열전도도가 온도나 압력의 변화에 대해 일정하며 충전 시스템 내에서 추가로 열이 발생하지 않는다는 조건하에서, 방화벽 케이블 관통부 충전 시스템에서 일어나는 비정상 상태 열전도현상은 직각좌표계에서 다음과 같은 포물선형 편미분 방정식으로 기술된다.                                                  (1)

여기서 는 단열재의 열확산계수(thermal diffusivity)로서, 물질의 특성이며 면적을 시간으로 나눈 차원을 가진다. 구현하고자 하는 시스템은 방화벽 케이블 관통부 충전 시스템으로 직각 좌표계 위에서 5개의 케이블 봉과 트레이로 구성된 직육면체로 단순화 시킬 수 있다. 아래의 그림은 CPFS 시스템을 간략히 표현한 그림이다.

(a) SOR 적용을 위한 분할 그림	(b) FEM 적용을 위한 유한요소

그림 1 CPFS 시스템의 개략도

열전도 현상을 해석하기 위한 조건으로, 충전 시스템의 내부는 물론 표면까지도 초기온도가 로서 일정하고, 경계앞면의 온도와 열전도도가 매우 큰, 케이블 전체의 온도는 항상 ASTM standard temperature-time curve의 온도 로서 시간에 따라 변한다.

(2)

for	(3)

for	(4)

직육면체를 둘러싸고 있는 위, 아래, 그리고 양 옆 4면이 모두 단열이라고 가정한다.

(5)

마지막으로, 경계뒷면과 접하는 공간의 공기온도는 항상 초기온도 로 대기와의 대류현상을 통하여 일정하다고 가정할 때, 경계 뒷면을 통해 단위면적 당 빠져나가는 열흐름은 경계 뒷면 온도와 초기온도 간의 온도차와 전열계수 에 비례함으로 경계뒷면에서의 경계조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(6)

따라서 방화벽 케이블 관통부 충전 시스템에서 일어나는 비정상 상태 열전도 현상은 포물선형 편미분 방정식 식(1)과 초기조건 식(2) 및 경계조건 식(3)으로부터 식(6)으로 표현될 수 있다.

2. 제안된 알고리듬의 적용

위에서 유도한 3차원 초기값을 가진 복잡한 편미분 방정식을 풀기 위해서, 연속 2단계 알고리즘을 사용한다. 우선 이 방법에서는 x-y-z축 공간에 대한 초기값 편미분 방정식 문제로부터 환원된 z축 성분과 x-y축 평면에 대한 각각의 초기값 편미분 방정식을 연속적으로 반복해서 계산한다. z축으로 전달되는 열은 연속과완화 (SOR: Sequential Over-Relaxation) 법을 이용하여 계산하고, x-y 평면 위에서의 확산되는 열은 유한요소법 (FEM: Finite Element Method) 을 이용하여 계산한다.

케이블 관통부 충진 시스템 내부의 z축상의 열전달 현상은 다음과 같다.

(7)

식 (7)을 n개의 불연속 에너지수지로 나타내면 다음과 같다.

(8)

:

:

첫 번째 계산의 초기조건은 모든 유한요소에 대해 로서 일정하고, 두 번째부터의 계산에서는 유한요소의 초기온도는 식 (8)으로부터 계산된 p개의 온도 를 이용하게 된다. 또한 경계앞면의 온도는 ASTM standard temperature-time curve의 온도 로 시간에 따라 변한다.

(9)

여기서 경계뒷면과 접하는 공간의 공기온도는 항상 초기온도 로 일정하다고 가정할 때, 경계뒷면을 통해 단위면적당 빠져나가는 열흐름은 경계뒷면 온도와 초기온도 간의 온도차와 전열계수 에 비례함으로 경계뒷면의 온도 는 식(6)을 전진차분 근사식(FDM) 으로 치환하면, 다음과 같이 정리된다.

(10)

FEM을 적용하기 위한 유한요소 point matrix는 이며, Edge matrix는 이며, Triangle matrix는 이다.

경계뒷면에서의 시간의 변화에 따른 x-y평면상에서 열의 확산은 다음과 같이 수식화 될 수 있으며, FEM을 적용하여 p개의 유한요소에 대해 해석할 수 있다.

(11)

각각의 유한요소에 대한 초기조건은 식(8)으로부터 p번 새로 계산해서 얻는다. 케이블 전체의 온도는 ASTM standard temperature-time curve의 온도 로 시간에 따라 변한다. 시간 t와 공간 x의 함수인 온도는 직교배열(Orthogonal Collocation)상태인 각 유한요소의 온도함수 와 요소함수 간의 곱의 전체의 합으로  나타낼 수 있다.

(12)

식(10) 및 식(11)과 그와 관련된 초기조건 및 경계조건을 이용하여 식(12)를 다음과 같은 일련의 대수방정식으로 나타낼 수 있다.

(13)

여기서 이고 이다.

포물선형 편미분 방정식인 식(1)은 위의 식(13)으로 대체될 수 있으며, 이를 통하여 초기조건을 바탕으로 각 요소에 해당하는 적절한 해를 얻을 수 있다. 시간에 따른 축적이 없는 경우 또는 정해진 시간에서 공간에 대한 계산을 실시할 경우 식(13)은 간단한 대수방정식으로 전환이 가능하다.

3. 실험 및 결과

위의 알고리듬을 CPFS 시스템에 적용한 결과 아래의 그림을 얻을 수 있었다. 케이블이 통과하는 방화시스템에서 화재발생 반대쪽 면의 결과이다.

(a) ASTM 표준온도 적용 후 36분	(b) ASTM 표준온도 적용 후 120분

그림 2 바깥쪽 온도 분포도

이번 실험에서는 열전달 계수를 1로 가정하였고,  ASTM standard temperature-time curve 적용시 최고 온도는 약 1200℃까지 상승한다. MatlabⓇ(버전 6.1)을 이용하여 프로그램을 작성하였으며 펜티엄4 1.8GHz를 이용하여 실행시간은 약 28분이 걸렸다.

결론

방화시스템에 있어서 열전도 현상을 분석하는 방법은 3차원적인 해석을 이용하였다. 원자력 발전소의 여러 칸 사이의 방화시스템 내에서 열전도가 어떻게 일어나는 지를 알기위해 여러 방법을 사용하여왔다. 본 연구에서 실시한 3차원 열전도 해석기법은 실제 현상에 근접한 결과를 얻을 수 있다는데 의의를 찾을 수 있다. 본 연구는 방화시스템 내를 관통하는 케이블에 연구에 주안점을 두고 있다. 이번 연구의 장점은 케이블이 관통하는 물질의 온도 변화와 공간상의 온도 분포를 보여주는데 유용하다는 것이다. 더욱이 본 연구에서 사용하는 방법은 열전도 현상을 해석하는데 있어서 효율적인 수치해석 방법이며 알고리즘이다. 따라서 본 연구에서는 케이블을 통하는 열전도 현상이 중요한 요소이며, 그림 2의 온도를 비교함으로써 ASTM standard temperature-time curve의 온도 에 따라 변화는 동적인 과정(dynamic process)임을 알 수 있다.

감사

본 연구는 서울대학교 화학공정신기술 연구소와 자동화시스템 공동연구소의 지원에 의한 것입니다

참고문헌

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